Negatieve getallen vermenigvuldigen
Negatieve getallen kunnen een beetje onnatuurlijk aanvoelen, zeker als hun product aan de beurt komt.
Hoe stel je je negatieve getallen voor
In het dagelijks leven kom je negatieve getallen eigenlijk niet zomaar tegen. Er zullen weinig mensen zijn die zeggen: “Hé, oma, kijk — daar op die heuvel staan min acht koeien!” Daardoor is het vermenigvuldigen van negatieve getallen extra lastig uit te leggen.
Er is in elk geval één situatie waarin negatieve getallen voor iedereen duidelijk zijn: het huishoudboekje, met inkomsten en uitgaven. Als je bijvoorbeeld naar je bankrekening kijkt, zie je posten als:
- +2500 euro: salaris
- −75 euro: boodschappen bij de supermarkt
- −40 euro: kauwgom voor een heel jaar
- +100 euro: overheidstoeslag voor een goed humeur
- −1200 euro: huur
Als je geld krijgt, staat er bij het bedrag een plusteken, als je geld uitgeeft, staat er een minteken — want dat uitgegeven geld trek je af van je saldo.
Negatieve getallen kunnen we ons dus voorstellen als een uitgave. Als we duizend euro erbij krijgen, schrijven we dat als +1000, als we vijfduizend euro hebben uitgegeven, schrijven we −5000. Het hoeven ook geen geldbedragen te zijn: als we zes stuks kauwgom uit het mandje nemen, kunnen we dat noteren als −6.
Een negatief getal met een positief getal vermenigvuldigen
Wat is dan de uitkomst van het product 7 · (−2)? Het gaat er eigenlijk om welk teken de uitkomst heeft. Het is wel duidelijk dat de uitkomst 14 of −14 is. Hoe onderbouwen we de juiste keuze?
Stel je voor dat één pakje kauwgom 2 euro kost en wij er 7 kopen. Nu vragen we hoeveel geld we in totaal aan deze zeven pakjes hebben uitgegeven. Dat is duidelijk, we hebben 7 · 2 = 14 euro uitgegeven.
Maar omdat dit geld is dat we echt hebben uitgegeven en niet hebben gekregen, zetten we er een minteken bij. Als we de uitkomst 14 lieten staan, zou dat betekenen dat het onze inkomsten zijn, maar het is onze uitgave: daarom is de uitkomst 7 · (−2) = −14.
We kunnen het weer terugbrengen tot optellen: stel dat we maar twee pakjes kauwgom hebben gekocht. Beide kostten twee euro, dus in onze boekhouding stond
- −2 euro: kauwgom
- −2 euro: kauwgom
Dat kunnen we herschrijven als 2 · (−2), of we kunnen die uitgaven optellen: −2 + (−2) = −2 − 2 = −4. Dan kunnen we gewoon schrijven:
- −4 euro: twee pakjes kauwgom
Als we een positief getal met een negatief getal vermenigvuldigen (of een negatief getal met een positief getal, dat maakt niet uit), kunnen we ons voorstellen dat het negatieve deel een uitgave is en het positieve getal het aantal van die uitgaven. En omdat we uitgaven optellen, moet de uitkomst ook negatief zijn.
Algebraïsche verklaring
Dat het product van een positief en een negatief getal een negatief getal is, kunnen we ook algebraïsch verklaren. Laten we deze som uitrekenen: 5 · (4 − 4). De uitkomst is duidelijk nul, want 4 − 4 = 0 en 5 · 0 = 0. Maar als we buiten haakjes brengen en haakjes uitwerken kennen, kunnen we de vorige som ook zo herschrijven:
We hebben de uitdrukking herschreven tot een andere, maar gelijkwaardige. De linkerkant van de vergelijking moet nog steeds nul zijn, want de oorspronkelijke uitdrukking 5 · (4 − 4) was ook nul. Nu rekenen we 5 · 4 = 20 uit:
Nu blijft alleen nog de uitdrukking 5 · (−4) over. Maar waaraan moet deze uitdrukking gelijk zijn, zodat de vergelijking blijft kloppen? Welk getal moeten we bij 20 optellen om nul te krijgen? Dat is het getal −20. De enige mogelijke uitkomst van de uitdrukking 5 · (−4) is dus −20. We zien opnieuw dat het product van een positief en een negatief getal negatief is.
Het product van twee negatieve getallen
Het product van twee negatieve getallen is een positief getal. Op het eerste gezicht lijkt dat vreemd, maar het is best te begrijpen. In gewone taal werkt het ook zo, als je een dubbele ontkenning gebruikt: in de mededeling “we zijn niet onbeleefd” zitten twee ontkenningen, en toch zegt die zin hetzelfde als “we zijn beleefd”. (Hier nemen we wel aan dat we alleen maar beleefd of onbeleefd kunnen zijn. In theorie zouden we ook geen van beide kunnen zijn.)
Een eenvoudige verklaring vind je in het volgende deel, met de beweging van de meneer met de koffer. Nu volgt eerst een overzichtelijke tabel met de verbanden tussen positieve en negatieve getallen voor het product:
Verklaring met beweging
Een product met negatieve factoren kun je mooi uitleggen met beweging. Stel je voor dat we in de oorsprong van een getallenlijn staan. Ongeveer zo:
Neem verder een product van twee getallen, bijvoorbeeld 2 · 3. Dit product laten we op de getallenlijn zien als de beweging van die meneer met de koffer. Het eerste getal is dan de staplengte en het tweede getal het aantal stappen dat de meneer zet, dus we kunnen het zien als het product staplengte · aantal stappen.
Daarbij houden we ook rekening met negatieve getallen. Als de staplengte positief is, loopt de meneer gewoon vooruit, maar als de staplengte negatief is, loopt hij achteruit. Als het aantal stappen positief is, kijkt de meneer naar rechts (zoals op de figuur hierboven), als het negatief is, kijkt hij naar links.
Bij welk getal de meneer met de koffer aankomt, is de uitkomst van het product van de gegeven getallen. Laten we kijken hoe het afloopt voor alle combinaties van positieve en negatieve getallen.
Voor het product 2 · 3 kijkt de meneer naar rechts en loopt hij vooruit. Hij zet dus drie stappen van twee vierkantjes vooruit.
De meneer met de koffer komt aan bij het getal 6, dus de uitkomst is 2 · 3 = 6.
Nu proberen we het product −2 · 3. Het eerste getal is negatief, dus nu loopt de meneer achteruit. Het tweede getal is wel positief, dus hij kijkt naar rechts. De meneer kijkt dus naar rechts en zet drie stappen achteruit:
We zien dat de meneer met de koffer bij het getal −6 is aangekomen, en dat klopt met −2 · 3 = −6.
Daarna proberen we 2 · (−3). Het eerste getal is positief, dus de meneer loopt vooruit. Maar het tweede getal is negatief, dus hij kijkt naar links. De meneer kijkt naar links en zet drie stappen vooruit:
De meneer is weer bij het getal −6 aangekomen, en dat komt overeen met 2 · (−3) = −6. Je ziet dat het niet uitmaakt of de meneer naar links kijkt en vooruit loopt, of dat hij naar rechts kijkt en achteruit loopt — in beide gevallen komt hij bij de negatieve getallen terecht.
Tot slot laten we de meneer −2 · (−3) uitrekenen, dus we laten hem naar links kijken en drie stappen achteruit lopen:
De meneer is, misschien enigszins verrassend, bij het getal 6 aangekomen. We kunnen dus zeggen dat −2 · (−3) = 6, het product van twee negatieve getallen is gelijk aan een positief getal.
Hoofdstukken: Vermenigvuldigen, Cijferend vermenigvuldigen, Negatieve getallen vermenigvuldigen
