Multiplication de nombres négatifs

Les nombres négatifs peuvent sembler un peu contre-intuitifs, surtout lorsqu’il s’agit de calculer leur produit.

Comment se représenter les nombres négatifs

Dans la vie courante, on ne rencontre pas vraiment de nombres négatifs. Peu de gens diront : « Mamie, regarde ! Là-bas, sur la colline, il y a moins huit vaches ! » C’est pourquoi la multiplication de nombres négatifs est difficile à expliquer.

Il existe toutefois au moins un cas où les nombres négatifs sont familiers à tout le monde : le budget domestique, avec ses recettes et ses dépenses. Quand tu regardes ton compte bancaire, tu y vois par exemple des lignes comme :

• +600 € : salaire
• −70 € : achat à l’hypermarché
• −40 € : achat de chewing-gums pour toute l’année
• +100 € : aide de l’État pour le moral
• −320 € : loyer

Quand tu reçois de l’argent, le montant porte un signe plus ; quand tu en dépenses, il porte un signe moins, car ces dépenses sont retranchées de ton solde.

On peut donc se représenter les nombres négatifs comme des dépenses. Si nous avons gagné quarante euros, on écrira +40 ; si nous avons dépensé deux cents euros, on écrira −200. Il ne s’agit pas forcément d’argent : si nous prenons six chewing-gums dans un paquet, on peut noter cela −6.

Multiplication d’un nombre négatif par un nombre positif

Quel est le résultat du produit 7 · (−2) ? En fait, il s’agit surtout de savoir quel signe aura le résultat. Il est clair que le résultat sera soit 14, soit −14. Comment justifier la bonne réponse ?

Imaginons qu’un paquet de chewing-gums coûte 2 € et que nous en achetions 7. Demandons-nous combien d’argent nous avons dépensé au total pour ces sept paquets. C’est simple : nous avons dépensé 7 · 2 = 14 €.

Mais comme il s’agit d’argent que nous avons réellement dépensé, nous ne l’avons pas gagné : on ajoute donc un signe moins. Si nous gardions le résultat 14, cela signifierait que c’est une recette, alors qu’il s’agit d’une dépense : le résultat est donc 7 · (−2) = −14.

On peut aussi le ramener à une addition : imaginons que nous n’ayons acheté que deux paquets de chewing-gums. Chacun coûtait deux euros, donc dans notre comptabilité on trouve

• −2 € : chewing-gums
• −2 € : chewing-gums

On peut écrire cela 2 · (−2), ou additionner ces dépenses : −2 + (−2) = −2 − 2 = −4. Nous pouvons alors simplement écrire :

• −4 € : deux paquets de chewing-gums

Lorsqu’on multiplie un nombre positif par un nombre négatif (ou l’inverse, peu importe), on peut voir la partie négative comme une dépense et le nombre positif comme le nombre de ces dépenses. Comme on additionne des dépenses, le résultat doit lui aussi être négatif.

Justification algébrique

Que le produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif donne un nombre négatif peut aussi se justifier par le calcul. Essayons de calculer 5 · (4 − 4). Le résultat est évidemment zéro, car 4 − 4 = 0 et 5 · 0 = 0. Toutefois, si l’on connaît la mise en facteur et le développement des parenthèses, on peut réécrire l’exemple précédent ainsi :

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Nous avons transformé l’expression en une autre, équivalente. Le membre de gauche doit toujours être égal à zéro, car l’expression de départ 5 · (4 − 4) était elle aussi égale à zéro. Maintenant, calculons 5 · 4 = 20 :

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Il ne reste donc que l’expression 5 · (−4). Mais pour que l’égalité reste vraie, à quoi doit-elle être égale ? Quel nombre faut-il ajouter à 20 pour obtenir zéro ? C’est le nombre −20. Le seul résultat possible de 5 · (−4) est donc −20. On voit encore une fois que le produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif donne un nombre négatif.

Produit de deux nombres négatifs

Le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif. À première vue, cela peut paraître étrange, mais c’est assez compréhensible. C’est aussi le cas dans la langue courante avec la double négation : dans l’annonce « nous ne serons pas impolis », il y a deux négations, mais cette phrase dit la même chose que « nous serons polis ». (Ici, nous supposons qu’on ne peut être que polis ou impolis. En théorie, on pourrait n’être ni l’un ni l’autre.)

Une justification simple se trouve dans la partie suivante, avec le monsieur à la valise. Voici d’abord un tableau récapitulatif des relations entre nombres positifs et négatifs pour le produit :

$$\begin{array}{rcl}\text{positif}\cdot \text{positif}& =& \text{positif}\\ \text{positif}\cdot \text{négatif}& =& \text{négatif}\\ \text{négatif}\cdot \text{positif}& =& \text{négatif}\\ \text{négatif}\cdot \text{négatif}& =& \text{positif}\end{array}$$

Justification par le mouvement

Le produit de facteurs négatifs s’explique joliment par le mouvement. Imaginons que nous nous tenions à l’origine de la droite numérique. Par exemple, comme ceci :

Considérons ensuite le produit de deux nombres, par exemple 2 · 3. Nous représenterons ce produit sur la droite numérique par le mouvement de ce monsieur avec sa valise : le premier nombre donne la longueur d’un pas, le second le nombre de pas que le monsieur fait. On peut donc voir le produit comme longueur du pas · nombre de pas.

Nous tenons aussi compte des nombres négatifs. Si la longueur du pas est positive, le monsieur avance normalement ; si elle est négative, il marche à reculons. Si le nombre de pas est positif, le monsieur est tourné vers la droite (comme sur l’image ci-dessus) ; s’il est négatif, il est tourné vers la gauche.

Le point d’arrivée du monsieur donne le résultat du produit. Voyons ce qui se passe pour toutes les combinaisons de nombres positifs et négatifs.

Pour le produit 2 · 3, le monsieur est tourné vers la droite et avance. Il fait trois pas de deux carreaux vers l’avant.

Le monsieur arrive au nombre 6, le résultat est donc 2 · 3 = 6.

Essayons maintenant −2 · 3. Le premier nombre est négatif, donc le monsieur va marcher à reculons. Le second nombre est positif, donc il regarde vers la droite. Il regarde donc vers la droite et fait trois pas en arrière :

On voit que le monsieur est arrivé au nombre −6, ce qui correspond à −2 · 3 = −6.

Essayons ensuite 2 · (−3). Le premier nombre est positif, donc le monsieur avance. Mais le second nombre est négatif, donc le monsieur est tourné vers la gauche. Il regarde à gauche et fait trois pas vers l’avant :

Le monsieur est de nouveau arrivé au nombre −6, ce qui correspond à 2 · (−3) = −6. On voit qu’il revient au même que le monsieur soit tourné vers la gauche et qu’il avance, ou tourné vers la droite et qu’il recule : dans les deux cas, il arrive aux nombres négatifs.

Enfin, envoyons le monsieur calculer −2 · (−3) : on le tourne vers la gauche et on le laisse marcher à reculons, trois pas.

Le monsieur est arrivé, peut-être de façon surprenante, au nombre 6. On peut donc dire que −2 · (−3) = 6 : le produit de deux nombres négatifs est égal à un nombre positif.