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Opérations sur les vecteurs

On peut effectuer sur les vecteurs des opérations de base, comme l’addition ou la multiplication.

Addition des vecteurs

Pour additionner deux vecteurs, on les place d’abord à l’origine du repère, puis on complète la figure en un parallélogramme : la diagonale issue de l’origine est le vecteur somme. Voici une figure qui l’illustre :

Somme de deux vecteurs u+v

Par le calcul, la somme de deux vecteurs s’obtient en additionnant leurs coordonnées respectives. Ainsi, si tu as deux vecteurs u→(u1u2) et v→(v1v2), la somme u→+v→ est égale à

u→+v→=(u1+v1u2+v2)

Pour les vecteurs de la figure, on a u→(24) et v→(41). Leur somme vaut donc u→+v→=(2+44+1)=(65). Ces coordonnées correspondent au point D.

Soustraire deux vecteurs revient à ajouter le vecteur opposé. Par le calcul :

u→−v→=(u1−v1u2−v2)

Lorsque l’on additionne des vecteurs situés sur une même droite et de même sens, le vecteur somme est simplement plus long. S’ils sont de sens contraires, on soustrait leurs normes. La figure permet de mieux le voir :

Somme de vecteurs situés sur une même droite

L’addition des vecteurs est commutative et associative. Il existe un vecteur 0→, appelé vecteur nul, tel que u→+0→=u→, comme pour les nombres. Pour tout vecteur u→, il existe un vecteur opposé −u→ tel que u→+(−u→)=0→.

Multiplication d’un vecteur par un réel

Si l’on multiplie un vecteur par un nombre réel k, il suffit de multiplier par k chacune de ses coordonnées. Géométriquement, cela se traduit par un « allongement » ou un « raccourcissement » du vecteur, et par un retournement si k est négatif.

Différents multiples du vecteur u

La figure montre que lorsqu’on multiplie le vecteur u par le nombre k :

  • Si la valeur absolue de k est inférieure à un, le vecteur est plus court.
  • Si la valeur absolue de k est supérieure à un, le vecteur est plus long.
  • Si k est négatif, le vecteur a un sens opposé.

Combinaisons linéaires de vecteurs

En algèbre linéaire, on utilise souvent des combinaisons linéaires de vecteurs. Si l’on dispose des vecteurs u→1,u→2,u→3,…, une combinaison linéaire de ces vecteurs est

  • k fois l’un des vecteurs u→n,
  • la somme de deux ou plusieurs vecteurs quelconques,
  • une combinaison de ce qui précède : on peut additionner les multiples kn de vecteurs u→n quelconques.

Si l’on dispose des vecteurs u→1,u→2,…,u→n, le vecteur v→ est une combinaison linéaire des vecteurs u→n lorsque l’égalité suivante est vérifiée :

v→=c1⋅u→1+c2⋅u→2+…+cn⋅u→n;ci∈R

Remarque que les coefficients ci sont des nombres réels : on peut donc choisir zéro pour l’un d’eux, ce qui fait disparaître entièrement l’un des vecteurs. Exemple : considérons les vecteurs u→1(13),u→2(04),u→3(72). Voici quelques combinaisons linéaires possibles :

(89)=1⋅(13)+1⋅(04)+1⋅(72)(2217)=1⋅(13)+2(04)+3(72)(6838)=−2(13)+6(04)+10(72)(−12−432)=−12(13)−5(04)+0(72)

Chapitres: Vecteurs, Opérations sur les vecteurs, Produit scalaire, Produit vectoriel