Műveletek vektorokkal

A vektorokkal alapműveleteket végezhetünk, például összeadást vagy szorzást.

Vektorok összeadása

Ha két vektort szeretnénk összeadni, ábrázoljuk őket a koordináta-rendszer origójából, majd kiegészítjük paralelogrammává, és az origóból induló átló lesz az összegvektor. Természetesen egy szemléltető ábra is készen áll:

Analitikusan a vektorok összege a megfelelő koordináták összege. Ha tehát adott két vektor, $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)$ és $\overrightarrow{v}(v_1;v_2)$, akkor az $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ összeg

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1;u_2+v_2)$$

Az ábrán látható vektorok: $\overrightarrow{u}(2;4)$ és $\overrightarrow{v}(4;1)$. Az összeg így néz ki: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+4;4+1)=(6;5)$. Ezek a koordináták a D pontnak felelnek meg.

Ha vektorokat vonsz ki, az ugyanaz, mintha az ellentett vektort adnád hozzá. Analitikusan:

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1;u_2-v_2)$$

Ha olyan vektorokat adunk össze, amelyek egy egyenesen fekszenek és egyirányúak, akkor az összegvektor csak megnyúlik. Ha ellentétes irányúak, akkor a hosszukat vonjuk ki egymásból. Az ábráról ez jobban látszik:

A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív. Létezik a $\overrightarrow{0}$ vektor, amelyet nullvektornak nevezünk, és amelyre a számokhoz hasonlóan teljesül, hogy $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$. Minden $\overrightarrow{u}$ vektorhoz létezik ellentett vektor, a $-\overrightarrow{u}$, amelyre teljesül, hogy $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$.

Vektor szorzása számmal

Ha a vektort megszorzod a k valós számmal, akkor mindkét koordinátáját egyszerűen megszorzod k-val. Geometriailag ez a vektor „megnyúlásában” vagy „összehúzódásában” jelenik meg, negatív k esetén pedig megfordulásában.

Az ábráról látszik, hogy ha az u vektort megszorozzuk a k számmal, akkor:

• Ha a k abszolút értéke kisebb egynél, akkor a vektor kisebb lesz.
• Ha a k abszolút értéke nagyobb egynél, akkor a vektor nagyobb lesz.
• Ha a k negatív, akkor a vektor iránya ellentétes lesz.

Vektorok lineáris kombinációja

A lineáris algebrában gyakran használjuk a vektorok lineáris kombinációját. Ha adottak az ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,{\overrightarrow{u}}_3,\dots$ vektorok, akkor ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja

• valamelyik ${\overrightarrow{u}}_n$ vektor k-szorosa,
• tetszőleges két vagy több vektor összege,
• az előzők kombinációja – összeadhatjuk tetszőleges ${\overrightarrow{u}}_n$ vektorok k_n-szeresét.

Ha adottak az ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots ,{\overrightarrow{u}}_n$ vektorok, akkor a $\overrightarrow{v}$ vektor az ${\overrightarrow{u}}_n$ vektorok lineáris kombinációja, ha teljesül:

$$\overrightarrow{v}=c_1\cdot {\overrightarrow{u}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{u}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{u}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Vedd észre, hogy a c_i együtthatók valós számok, így választhatjuk őket nullának is, és ekkor az egyik vektor teljesen kiesik. Példa: legyenek a vektorok ${\overrightarrow{u}}_1(1;3),{\overrightarrow{u}}_2(0;4),{\overrightarrow{u}}_3(7;2)$. Íme néhány lehetséges lineáris kombinációjuk:

$$\begin{array}{rcl}(8;9)& =& 1\cdot (1;3)+1\cdot (0;4)+1\cdot (7;2)\\ (22;17)& =& 1\cdot (1;3)+2(0;4)+3(7;2)\\ (68;38)& =& -2(1;3)+6(0;4)+10(7;2)\\ (-\frac{1}{2};-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1;3)-5(0;4)+0(7;2)\end{array}$$