Operationer med vektorer

Med vektorer kan vi utföra grundläggande operationer som addition och multiplikation.

Addition av vektorer

När vi vill addera två vektorer ritar vi ut dem från origo, kompletterar till ett parallellogram, och diagonalen som utgår från origo är den resulterande vektorn. Här är förstås en figur som illustrerar det:

Analytiskt är summan av vektorer summan av motsvarande koordinater. Om du har två vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$ är alltså summan $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ lika med

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

För vektorerna i figuren gäller $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4,1)$. Summan ser då ut så här: $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4,4+1)=(6,5)$. De koordinaterna motsvarar punkten D.

Om du subtraherar vektorer är det samma sak som att addera den motsatta vektorn. Analytiskt:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Om vi adderar vektorer som ligger på samma linje och har samma riktning förlänger vi bara den resulterande vektorn. Om de har motsatt riktning subtraherar vi deras längder. Det syns bäst i figuren:

Addition av vektorer är kommutativ och associativ. Det finns en vektor $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, som vi kallar nollvektorn, för vilken $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, precis som för tal. Till varje vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ finns en motsatt vektor $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$, för vilken $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Multiplikation av en vektor med ett tal

Om du multiplicerar en vektor med ett reellt tal k multiplicerar du bara båda koordinaterna med talet k. Geometriskt innebär det att vektorn ”förlängs” eller ”förkortas”, och att den vänds åt motsatt håll om k är negativt.

Av figuren ser vi att när vi multiplicerar vektorn u med talet k gäller:

• Om absolutbeloppet av k är mindre än ett blir vektorn kortare.
• Om absolutbeloppet av k är större än ett blir vektorn längre.
• Om k är negativt får vektorn motsatt riktning.

Linjärkombination av vektorer

I linjär algebra använder vi ofta linjärkombinationer av vektorer. Om vi har vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$ är en linjärkombination av dessa vektorer

• k gånger en av vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$,
• summan av två eller flera godtyckliga vektorer,
• en kombination av de föregående, där vi kan addera k_n gånger godtyckliga vektorer ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$.

Om vi har vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ är vektorn $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ en linjärkombination av vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ om det gäller att

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Lägg märke till att koefficienterna c_i är reella tal. Vi kan alltså välja noll för en av dem, och då försvinner en av vektorerna helt. Exempel: vi har vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1,3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7,2)$. Här är några möjliga linjärkombinationer:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$