Operazioni con i vettori

Con i vettori possiamo eseguire operazioni fondamentali come l’addizione e la moltiplicazione.

Addizione di vettori

Per sommare due vettori, li disegniamo a partire dall’origine del sistema di riferimento, completiamo il parallelogramma e la diagonale che parte dall’origine è il vettore risultante. Ecco naturalmente una figura illustrativa:

In forma analitica, la somma di vettori è la somma delle coordinate corrispondenti. Se hai due vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1;v_2)$, la somma $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ è uguale a

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1;u_2+v_2)$$

Per i vettori della figura vale: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2;4)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4;1)$. La somma si calcola così: $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4;4+1)=(6;5)$. Queste coordinate corrispondono al punto D.

Se sottrai due vettori, è come se sommassi il vettore opposto. In forma analitica:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1;u_2-v_2)$$

Se sommiamo vettori che si trovano sulla stessa retta e hanno lo stesso verso, il vettore risultante è semplicemente più lungo. Se hanno verso opposto, sottraiamo i loro moduli. Dalla figura si vede meglio:

L’addizione di vettori è commutativa e associativa. Esiste un vettore $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, che chiamiamo vettore nullo, per il quale vale $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, proprio come per i numeri. Per ogni vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ esiste un vettore opposto $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$, per il quale vale $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Moltiplicazione di un vettore per un numero

Se moltiplichi un vettore per un numero reale k, basta moltiplicare per k entrambe le coordinate. Nell’interpretazione geometrica questo si traduce in un «allungamento» o in un «accorciamento» del vettore, ed eventualmente nel suo ribaltamento, se k è negativo.

Dalla figura si vede che, quando moltiplichiamo il vettore u per il numero k:

• se il valore assoluto di k è minore di uno, il vettore diventa più corto;
• se il valore assoluto di k è maggiore di uno, il vettore diventa più lungo;
• se k è negativo, il vettore ha verso opposto.

Combinazione lineare di vettori

Nell’algebra lineare usiamo spesso le combinazioni lineari di vettori. Se abbiamo i vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$, una combinazione lineare di questi vettori è

• un multiplo k di uno dei vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$,
• la somma di due o più vettori qualsiasi,
• una combinazione dei casi precedenti: possiamo sommare i multipli k_n di vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ qualsiasi.

Se abbiamo i vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, il vettore $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ è una combinazione lineare dei vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ se vale:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Osserva che i coefficienti c_i sono numeri reali, quindi possiamo sceglierne uno uguale a zero, e allora uno dei vettori scompare del tutto. Esempio: abbiamo i vettori ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1;3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0;4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7;2)$. Ecco alcune delle combinazioni lineari possibili:

$$\begin{array}{rcl}(8;9)& =& 1\cdot (1;3)+1\cdot (0;4)+1\cdot (7;2)\\ (22;17)& =& 1\cdot (1;3)+2(0;4)+3(7;2)\\ (68;38)& =& -2(1;3)+6(0;4)+10(7;2)\\ (-\frac{1}{2};-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1;3)-5(0;4)+0(7;2)\end{array}$$