✖

Bewerkingen met vectoren

Met vectoren kunnen we basisbewerkingen uitvoeren, zoals optellen en vermenigvuldigen.

Vectoren optellen

Om twee vectoren op te tellen, tekenen we ze vanuit de oorsprong van het coördinatenstelsel, maken de figuur af tot een parallellogram, en de diagonaal die in de oorsprong begint is de somvector. Natuurlijk hoort er een tekening bij:

Som van twee vectoren u+v

Met coördinaten is de som van vectoren de som van de overeenkomstige coördinaten. Als je dus twee vectoren u→=(u1u2) en v→=(v1v2) hebt, dan is de som u→+v→ gelijk aan

u→+v→=(u1+v1u2+v2)

Voor de vectoren in de tekening geldt: u→=(24) en v→=(41). De som ziet er dan zo uit: u→+v→=(2+44+1)=(65). Deze coördinaten horen bij punt D.

Als je vectoren aftrekt, is dat hetzelfde als het optellen van de tegengestelde vector. Met coördinaten:

u→−v→=(u1−v1u2−v2)

Als we vectoren optellen die op één lijn liggen en dezelfde richting hebben, rekken we de somvector gewoon uit. Als ze tegengestelde richtingen hebben, trekken we hun lengten van elkaar af. In de tekening zie je dat beter:

Som van vectoren die op dezelfde lijn liggen

Het optellen van vectoren is commutatief en associatief. Er bestaat een vector 0→, die we de nulvector noemen, waarvoor geldt u→+0→=u→, net als bij getallen. Bij elke vector u→ bestaat een tegengestelde vector −u→, waarvoor geldt u→+(−u→)=0→.

Een vector vermenigvuldigen met een getal

Als je een vector vermenigvuldigt met een reëel getal k, vermenigvuldig je gewoon beide coördinaten met k. Meetkundig zie je dat terug als “uitrekken” of “verkleinen” van de vector, en als omdraaien als k negatief is.

Verschillende veelvouden van de vector u

In de tekening zie je dat bij het vermenigvuldigen van de vector u met het getal k het volgende geldt:

  • Als de absolute waarde van k kleiner is dan één, wordt de vector kleiner.
  • Als de absolute waarde van k groter is dan één, wordt de vector groter.
  • Als k negatief is, heeft de vector de tegengestelde richting.

Lineaire combinatie van vectoren

In de lineaire algebra gebruiken we vaak lineaire combinaties van vectoren. Als we de vectoren u→1,u→2,u→3,… hebben, dan is een lineaire combinatie van deze vectoren

  • een k-voud van een van de vectoren u→n,
  • de som van twee of meer willekeurige vectoren,
  • een combinatie van het voorgaande: we kunnen de kn-vouden van willekeurige vectoren u→n optellen.

Als we de vectoren u→1,u→2,…,u→n hebben, dan is de vector v→ een lineaire combinatie van de vectoren u→n als geldt:

v→=c1⋅u→1+c2⋅u→2+…+cn⋅u→n;ci∈R

Let op dat de coëfficiënten ci reële getallen zijn. We kunnen er dus nul voor kiezen, waardoor een van de vectoren helemaal wegvalt. Voorbeeld: we hebben de vectoren u→1=(13),u→2=(04),u→3=(72). Dit zijn enkele mogelijke lineaire combinaties:

(89)=1⋅(13)+1⋅(04)+1⋅(72)(2217)=1⋅(13)+2(04)+3(72)(6838)=−2(13)+6(04)+10(72)(−12−432)=−12(13)−5(04)+0(72)

Hoofdstukken: Vectoren, Bewerkingen met vectoren, Inproduct, Uitproduct