Vektörlerle İşlemler

Vektörlerle toplama ya da çarpma gibi temel işlemler yapabiliriz.

Vektörlerin Toplanması

İki vektörü toplamak için ikisini de koordinat sisteminin başlangıç noktasından çizeriz, sonra paralelkenara tamamlarız. Başlangıç noktasından çıkan köşegen bileşke vektör olur. Elbette açıklayıcı bir şekil hazır:

Analitik olarak vektörlerin toplamı, karşılık gelen koordinatların toplamıdır. Yani $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$ gibi iki vektörün varsa, $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ toplamı şuna eşittir:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Şekildeki vektörler için $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4,1)$ geçerlidir. Toplam şöyle görünür: $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Bu koordinatlar D noktasına karşılık gelir.

Vektörleri çıkarmak, ters vektörü eklemekle aynıdır. Analitik olarak:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Aynı doğru üzerinde ve aynı yönde olan vektörleri toplarsak bileşke vektör yalnızca uzar. Yönleri zıtsa uzunluklarını çıkarırız. Şekilden bu daha iyi görülür:

Vektörlerin toplanması değişme özelliğine ve birleşme özelliğine sahiptir. Sayılarda olduğu gibi, $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$ eşitliğini sağlayan ve sıfır vektör denen bir $\overrightarrow{\mathbf{0}}$ vektörü vardır. Her $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörü için, $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$ eşitliğini sağlayan bir ters vektör $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vardır.

Vektörün Bir Sayıyla Çarpımı

Bir vektörü k gerçek sayısıyla çarparsan vektörün her iki koordinatını k ile çarpmış olursun. Geometrik olarak bu, vektörün “uzaması” ya da “kısalması” anlamına gelir; k negatifse ayrıca ters dönmesi anlamına gelir.

Şekilden görüldüğü gibi u vektörünü k sayısıyla çarptığımızda:

• k sayısının mutlak değeri 1’den küçükse vektör kısalır.
• k sayısının mutlak değeri 1’den büyükse vektör uzar.
• k negatifse vektörün yönü terse döner.

Vektörlerin Doğrusal Birleşimi

Doğrusal cebirde sık sık vektörlerin doğrusal birleşimini kullanırız. ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$ vektörlerimiz varsa bu vektörlerin doğrusal birleşimi şunlardan biridir:

• vektörlerden birinin, yani bir ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ vektörünün k katı,
• herhangi iki ya da daha fazla vektörün toplamı,
• bunların birleşimi: herhangi ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ vektörlerinin k_n katlarını toplayabiliriz.

${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ vektörlerimiz varsa, $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörünün ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ vektörlerinin doğrusal birleşimi olması için şu eşitlik sağlanmalıdır:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

c_i katsayılarının gerçek sayı olduğuna dikkat et. Bu yüzden katsayılardan birini sıfır seçebiliriz, o zaman vektörlerden biri tamamen düşer. Örnek: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1,3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7,2)$ vektörleri verilsin. Olası doğrusal birleşimlerden bazıları şunlardır:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$