Regneoperasjoner med vektorer

Med vektorer kan vi utføre grunnleggende regneoperasjoner som addisjon og multiplikasjon.

Addisjon av vektorer

Når vi skal addere to vektorer, tegner vi dem med startpunkt i origo og fullfører figuren til et parallellogram. Diagonalen som starter i origo, er resultantvektoren. Her er en figur som illustrerer det:

Med koordinater er summen av vektorer summen av de tilsvarende koordinatene. Hvis du har to vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2]$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=[v_1,v_2]$, er summen $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ lik

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=[u_1+v_1,u_2+v_2]$$

For vektorene på figuren gjelder $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[2,4]$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=[4,1]$. Summen blir da $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=[2+4,4+1]=[6,5]$. Disse koordinatene tilsvarer punktet D.

Når du subtraherer vektorer, er det det samme som å legge til den motsatte vektoren. Med koordinater:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=[u_1-v_1,u_2-v_2]$$

Hvis vi adderer vektorer som ligger på samme linje og har samme retning, blir den resulterende vektoren bare lengre. Hvis de har motsatt retning, trekker vi lengdene fra hverandre. Det er lettere å se på figuren:

Addisjon av vektorer er kommutativ og assosiativ. Det finnes en vektor $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, som vi kaller nullvektoren, og for den gjelder $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, på samme måte som for tall. Til hver vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ finnes det en motsatt vektor $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$, og for den gjelder $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Multiplikasjon av en vektor med et tall

Hvis du multipliserer en vektor med et reelt tall k, multipliserer du bare begge koordinatene med tallet k. Geometrisk betyr det at vektoren «strekkes» eller «krympes», eller snus hvis k er negativ.

På figuren ser vi at når vi multipliserer vektoren u med tallet k, gjelder følgende:

• Hvis absoluttverdien av k er mindre enn én, blir vektoren kortere.
• Hvis absoluttverdien av k er større enn én, blir vektoren lengre.
• Hvis k er negativ, får vektoren motsatt retning.

Lineærkombinasjon av vektorer

I lineær algebra bruker vi ofte lineærkombinasjoner av vektorer. Hvis vi har vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$, er en lineærkombinasjon av disse vektorene

• k ganger én av vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$,
• summen av to eller flere vektorer,
• en kombinasjon av det forrige: vi kan addere k_n ganger vilkårlige vektorer ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$.

Hvis vi har vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, er vektoren $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ en lineærkombinasjon av vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ hvis

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Legg merke til at koeffisientene c_i er reelle tall, så vi kan velge null, og da faller én av vektorene helt bort. Eksempel: vi har vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=[1,3],{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=[0,4],{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=[7,2]$. Her er noen mulige lineærkombinasjoner:

$$\begin{array}{rcl}[8,9]& =& 1\cdot [1,3]+1\cdot [0,4]+1\cdot [7,2]\\ [22,17]& =& 1\cdot [1,3]+2[0,4]+3[7,2]\\ [68,38]& =& -2[1,3]+6[0,4]+10[7,2]\\ [-\frac{1}{2},-\frac{43}{2}]& =& -\frac{1}{2}[1,3]-5[0,4]+0[7,2]\end{array}$$