Operaciones con vectores

Con los vectores podemos realizar operaciones básicas como la suma o el producto.

Suma de vectores

Para sumar dos vectores, los representamos con origen en el origen del sistema de coordenadas, completamos un paralelogramo y la diagonal que parte del origen será el vector resultante. Por supuesto, hay una figura para ilustrarlo:

Analíticamente, la suma de vectores es la suma de las coordenadas correspondientes. Así, si tienes dos vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, la suma $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ es igual a

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Para los vectores de la figura se cumple: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4,1)$. La suma queda así: $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Estas coordenadas corresponden al punto D.

Restar vectores es lo mismo que sumar el vector opuesto. Analíticamente:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Si sumamos vectores que están en una misma recta y tienen el mismo sentido, el vector resultante simplemente se alarga. Si tienen sentido contrario, restamos sus módulos. En la figura se verá mejor:

La suma de vectores es conmutativa y asociativa. Existe un vector $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, que llamamos vector nulo, para el que se cumple $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, igual que con los números. Para cada vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ existe un vector opuesto $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$, para el que se cumple $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Producto de un vector por un número

Si multiplicas un vector por un número real k, simplemente multiplicas por k las dos coordenadas. En la interpretación geométrica esto se manifiesta como un «alargamiento» o una «reducción» del vector, o como un cambio de sentido si k es negativo.

En la figura se ve que, al multiplicar el vector u por el número k:

• Si el valor absoluto de k es menor que uno, el vector es más corto.
• Si el valor absoluto de k es mayor que uno, el vector es más largo.
• Si k es negativo, el vector tiene sentido contrario.

Combinación lineal de vectores

En el álgebra lineal usamos a menudo combinaciones lineales de vectores. Si tenemos los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$, una combinación lineal de estos vectores es

• el producto por k de uno de los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$,
• la suma de dos o más vectores cualesquiera,
• una combinación de lo anterior: podemos sumar los productos por k_n de cualesquiera vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$.

Si tenemos los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, el vector $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ es una combinación lineal de los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ si se cumple:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Fíjate en que los coeficientes c_i son números reales, así que podemos elegir el cero, con lo que uno de los vectores desaparece por completo. Ejemplo: tenemos los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1,3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7,2)$. Estas son algunas de las combinaciones lineales posibles:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$