Действия с вектори

С векторите можем да извършваме основни действия като събиране и умножение.

Събиране на вектори

За да съберем два вектора, ги нанасяме от началото на координатната система, допълваме до успоредник и диагоналът, който излиза от началото, е резултатният вектор. Разбира се, сме приготвили и нагледен чертеж:

Аналитично сборът на вектори е сборът на съответните координати. Така че ако имаш два вектора $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)$ и $\overrightarrow{v}(v_1;v_2)$, то сборът $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ е равен на

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1;u_2+v_2)$$

За векторите от чертежа е изпълнено: $\overrightarrow{u}(2;4)$ и $\overrightarrow{v}(4;1)$. Сборът изглежда така: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+4;4+1)=(6;5)$. Тези координати отговарят на точката D.

Изваждането на вектори е същото като прибавянето на противоположния вектор. Аналитично:

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1;u_2-v_2)$$

Ако събираме вектори, които лежат на една права и са еднопосочни, резултатният вектор просто се удължава. Ако посоките им са противоположни, изваждаме дължините им. От чертежа ще се вижда по-добре:

Събирането на вектори е комутативно и асоциативно. Съществува вектор $\overrightarrow{0}$, който наричаме нулев вектор и за който е изпълнено $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$, също както при числата. За всеки вектор $\overrightarrow{u}$ съществува противоположен вектор $-\overrightarrow{u}$, за който е изпълнено $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$.

Умножение на вектор с число

Когато умножиш вектор с реално число k, просто умножаваш с числото k и двете му координати. В геометрична интерпретация това се проявява като „разтегляне“ или „смаляване“ на вектора, а ако k е отрицателно – и като обръщане на посоката му.

От чертежа се вижда, че когато умножаваме вектора u с числото k:

• Ако абсолютната стойност на k е по-малка от едно, векторът се скъсява.
• Ако абсолютната стойност на k е по-голяма от едно, векторът се удължава.
• Ако k е отрицателно, векторът има противоположна посока.

Линейна комбинация на вектори

В линейната алгебра често използваме линейни комбинации на вектори. Ако имаме вектори ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,{\overrightarrow{u}}_3,\dots$, то линейна комбинация на тези вектори е

• k-кратно на един от векторите ${\overrightarrow{u}}_n$,
• сборът на произволни два или повече от векторите,
• комбинация на предишните – можем да съберем k_n-кратните на произволни вектори ${\overrightarrow{u}}_n$.

Ако имаме вектори ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots ,{\overrightarrow{u}}_n$, то векторът $\overrightarrow{v}$ е линейна комбинация на векторите ${\overrightarrow{u}}_n$, когато е изпълнено:

$$\overrightarrow{v}=c_1\cdot {\overrightarrow{u}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{u}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{u}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Забележи, че коефициентите c_i са реални числа, така че можем да изберем за тях нула, с което един от векторите напълно отпада. Пример: имаме вектори ${\overrightarrow{u}}_1(1;3),{\overrightarrow{u}}_2(0;4),{\overrightarrow{u}}_3(7;2)$. Ето някои възможни линейни комбинации:

$$\begin{array}{rcl}(8;9)& =& 1\cdot (1;3)+1\cdot (0;4)+1\cdot (7;2)\\ (22;17)& =& 1\cdot (1;3)+2(0;4)+3(7;2)\\ (68;38)& =& -2(1;3)+6(0;4)+10(7;2)\\ (-\frac{1}{2};-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1;3)-5(0;4)+0(7;2)\end{array}$$