✖

Operationen mit Vektoren

Mit Vektoren können wir grundlegende Operationen wie Addition oder Multiplikation durchführen.

Addition von Vektoren

Wollen wir zwei Vektoren addieren, zeichnen wir sie vom Koordinatenursprung aus, ergänzen sie zu einem Parallelogramm, und die im Ursprung beginnende Diagonale ist der Summenvektor. Natürlich gibt es dazu eine anschauliche Abbildung:

Summe zweier Vektoren u+v

Rechnerisch ist die Summe von Vektoren die Summe der entsprechenden Koordinaten. Wenn du also zwei Vektoren u→=(u1u2) und v→=(v1v2) hast, dann ist die Summe u→+v→ gleich

u→+v→=(u1+v1u2+v2)

Für die Vektoren in der Abbildung gilt: u→=(24) und v→=(41). Die Summe sieht dann so aus: u→+v→=(2+44+1)=(65). Diese Koordinaten entsprechen dem Punkt D.

Wenn du Vektoren subtrahierst, ist das dasselbe, als würdest du den Gegenvektor addieren. Rechnerisch:

u→−v→=(u1−v1u2−v2)

Wenn wir Vektoren addieren, die auf einer Geraden liegen und dieselbe Richtung haben, dann wird der Summenvektor einfach entsprechend länger. Haben sie entgegengesetzte Richtung, dann subtrahieren wir ihre Beträge. In der Abbildung ist das besser zu sehen:

Summe von Vektoren auf derselben Geraden

Die Addition von Vektoren ist kommutativ und assoziativ. Es gibt einen Vektor 0→, den wir Nullvektor nennen, für den u→+0→=u→ gilt, ähnlich wie bei Zahlen. Zu jedem Vektor u→ gibt es einen Gegenvektor −u→, für den u→+(−u→)=0→ gilt.

Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Wenn du einen Vektor mit einer reellen Zahl k multiplizierst, multiplizierst du einfach beide Koordinaten mit der Zahl k. Geometrisch zeigt sich das als „Strecken“ oder „Stauchen“ des Vektors, gegebenenfalls als Umkehren, wenn k negativ ist.

Verschiedene Vielfache des Vektors u

In der Abbildung sieht man, dass Folgendes gilt, wenn wir den Vektor u mit der Zahl k multiplizieren:

  • Ist der Betrag von k kleiner als eins, dann wird der Vektor kürzer.
  • Ist der Betrag von k größer als eins, dann wird der Vektor länger.
  • Ist k negativ, dann hat der Vektor die entgegengesetzte Richtung.

Linearkombination von Vektoren

In der linearen Algebra verwenden wir oft Linearkombinationen von Vektoren. Wenn wir die Vektoren u→1,u→2,u→3,… haben, dann ist eine Linearkombination dieser Vektoren

  • ein k-Faches eines der Vektoren u→n,
  • die Summe von zwei oder mehr beliebigen Vektoren,
  • eine Kombination der beiden vorigen Fälle – wir können kn-Fache beliebiger Vektoren u→n addieren.

Haben wir die Vektoren u→1,u→2,…,u→n, dann ist der Vektor v→ eine Linearkombination der Vektoren u→n, wenn gilt:

v→=c1⋅u→1+c2⋅u→2+…+cn⋅u→n;ci∈R

Beachte, dass die Koeffizienten ci reelle Zahlen sind, wir können für sie also null wählen, wodurch einer der Vektoren ganz wegfällt. Beispiel: Wir haben die Vektoren u→1=(13),u→2=(04),u→3=(72). Das sind einige mögliche Linearkombinationen:

(89)=1⋅(13)+1⋅(04)+1⋅(72)(2217)=1⋅(13)+2(04)+3(72)(6838)=−2(13)+6(04)+10(72)(−12−432)=−12(13)−5(04)+0(72)

Kapitel: Vektoren, Operationen mit Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt