Operații cu vectori

Cu vectorii putem face operații de bază, cum sunt adunarea sau înmulțirea.

Adunarea vectorilor

Ca să adunăm doi vectori, îi desenăm cu originea în originea sistemului de coordonate, apoi completăm figura până la un paralelogram, iar diagonala care pornește din origine este vectorul rezultat. Bineînțeles, avem pregătită o figură ilustrativă:

Analitic, suma vectorilor este suma coordonatelor corespunzătoare. Deci, dacă avem doi vectori $\overrightarrow{u}(u_1,u_2)$ și $\overrightarrow{v}(v_1,v_2)$, suma $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ este egală cu

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Pentru vectorii din figură avem $\overrightarrow{u}(2,4)$ și $\overrightarrow{v}(4,1)$. Suma arată astfel: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Aceste coordonate corespund punctului D.

Dacă scădem vectori, este la fel ca și cum am aduna vectorul opus. Analitic:

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Dacă adunăm vectori care se află pe aceeași dreaptă și au același sens, vectorul rezultat doar se lungește. Dacă au sensuri opuse, scădem modulele lor. Din figură se va vedea mai bine:

Adunarea vectorilor este comutativă și asociativă. Există un vector $\overrightarrow{0}$, numit vector nul, pentru care $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$, la fel ca la numere. Pentru fiecare vector $\overrightarrow{u}$ există un vector opus $-\overrightarrow{u}$, pentru care $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$.

Înmulțirea unui vector cu un număr

Dacă înmulțim un vector cu un număr real k, înmulțim pur și simplu cu k ambele coordonate. Geometric, aceasta se vede ca o „alungire” sau o „micșorare” a vectorului, eventual ca o întoarcere a lui în sens opus, dacă k este negativ.

Din figură se vede că, atunci când înmulțim vectorul u cu numărul k:

• Dacă modulul lui k este mai mic decât unu, vectorul se micșorează.
• Dacă modulul lui k este mai mare decât unu, vectorul se mărește.
• Dacă k este negativ, vectorul are sens opus.

Combinația liniară de vectori

În algebra liniară folosim des combinații liniare de vectori. Dacă avem vectorii ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,{\overrightarrow{u}}_3,\dots$, atunci o combinație liniară a acestor vectori este

• produsul unuia dintre vectorii ${\overrightarrow{u}}_n$ cu un număr k,
• suma oricăror doi sau mai mulți vectori,
• o combinație a celor de mai sus – putem aduna multiplii $k_n{\overrightarrow{u}}_n$ ai unor vectori ${\overrightarrow{u}}_n$ oarecare.

Dacă avem vectorii ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots ,{\overrightarrow{u}}_n$, atunci vectorul $\overrightarrow{v}$ este o combinație liniară a vectorilor ${\overrightarrow{u}}_n$ dacă

$$\overrightarrow{v}=c_1\cdot {\overrightarrow{u}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{u}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{u}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Observă că coeficienții c_i sunt numere reale, deci putem alege zero, iar atunci unul dintre vectori dispare complet. Exemplu: avem vectorii ${\overrightarrow{u}}_1(1,3),{\overrightarrow{u}}_2(0,4),{\overrightarrow{u}}_3(7,2)$. Iată câteva combinații liniare posibile:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$