✖

Regneoperationer med vektorer

Med vektorer kan vi udføre de grundlæggende regneoperationer som addition eller multiplikation.

Addition af vektorer

Hvis vi vil lægge to vektorer sammen, tegner vi dem med begyndelsespunkt i koordinatsystemets origo, fuldender dem til et parallelogram, og diagonalen, der begynder i origo, er så den resulterende vektor. Der er selvfølgelig lavet en illustrerende figur:

Summen af to vektorer u+v

Analytisk er summen af vektorer summen af de tilsvarende koordinater. Så hvis du har to vektorer u→=(u1u2) og v→=(v1v2), er summen u→+v→ lig med

u→+v→=(u1+v1u2+v2)

For vektorerne på figuren gælder: u→=(24) og v→=(41). Summen ser så sådan ud: u→+v→=(2+44+1)=(65). Disse koordinater svarer til punktet D.

Hvis du trækker vektorer fra hinanden, er det det samme, som hvis du lagde den modsatte vektor til. Analytisk:

u→−v→=(u1−v1u2−v2)

Hvis vi lægger vektorer sammen, som ligger på samme linje og har samme retning, forlænger vi bare den resulterende vektor. Hvis de har modsat retning, trækker vi deres længder fra hinanden. Det ses bedre på figuren:

Summen af vektorer, der ligger på samme linje

Addition af vektorer er kommutativ og associativ. Der findes en vektor 0→, som vi kalder nulvektoren, og for hvilken der gælder u→+0→=u→, ligesom for tal. Til enhver vektor u→ findes der en modsat vektor −u→, for hvilken der gælder u→+(−u→)=0→.

Multiplikation af en vektor med et tal

Hvis du ganger en vektor med et reelt tal k, ganger du bare begge dens koordinater med tallet k. I den geometriske fortolkning kommer det til udtryk ved, at vektoren »strækkes« eller »forkortes«, eventuelt vendes om, hvis k er negativ.

Forskellige multipla af vektoren u

Af figuren ses det, at når vi ganger vektoren u med tallet k, så gælder:

  • Hvis den numeriske værdi af k er mindre end én, bliver vektoren kortere.
  • Hvis den numeriske værdi af k er større end én, bliver vektoren længere.
  • Hvis k er negativ, har vektoren modsat retning.

Linearkombination af vektorer

I lineær algebra bruger vi ofte linearkombinationer af vektorer. Hvis vi har vektorerne u→1,u→2,u→3,…, så er en linearkombination af disse vektorer

  • k gange en af vektorerne u→n,
  • summen af to eller flere vilkårlige vektorer,
  • en kombination af det foregående – vi kan lægge kn gange vilkårlige vektorer u→n sammen.

Hvis vi har vektorerne u→1,u→2,…,u→n, så er vektoren v→ en linearkombination af vektorerne u→n, hvis der gælder:

v→=c1⋅u→1+c2⋅u→2+…+cn⋅u→n;ci∈R

Læg mærke til, at koefficienterne ci er reelle tal, så vi kan vælge nul, hvorved en af vektorerne helt falder ud. Eksempel: Vi har vektorerne u→1=(13),u→2=(04),u→3=(72). Dette er nogle af de mulige linearkombinationer:

(89)=1⋅(13)+1⋅(04)+1⋅(72)(2217)=1⋅(13)+2(04)+3(72)(6838)=−2(13)+6(04)+10(72)(−12−432)=−12(13)−5(04)+0(72)

Kapitler: Vektorer, Regneoperationer med vektorer, Skalarprodukt, Krydsprodukt