Πράξεις με διανύσματα

Με τα διανύσματα μπορούμε να κάνουμε βασικές πράξεις, όπως πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό.

Πρόσθεση διανυσμάτων

Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα, τα σχεδιάζουμε με αρχή την αρχή των αξόνων, τα συμπληρώνουμε σε παραλληλόγραμμο, και η διαγώνιος που ξεκινά από την αρχή είναι το διάνυσμα του αθροίσματος. Φυσικά υπάρχει και σχετικό σχήμα:

Αναλυτικά, το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων. Αν λοιπόν έχεις δύο διανύσματα $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ και $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$, τότε το άθροισμα $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ είναι ίσο με

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Για τα διανύσματα του σχήματος ισχύει: $\overrightarrow{u}=(2,4)$ και $\overrightarrow{v}=(4,1)$. Το άθροισμα έχει τότε την εξής μορφή: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Αυτές οι συντεταγμένες αντιστοιχούν στο σημείο D.

Αν αφαιρείς διανύσματα, είναι το ίδιο σαν να προσθέτεις το αντίθετο διάνυσμα. Αναλυτικά:

$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Αν προσθέτουμε διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έχουν την ίδια φορά, απλώς επιμηκύνουμε το διάνυσμα του αθροίσματος. Αν έχουν αντίθετη φορά, αφαιρούμε τα μέτρα τους. Από το σχήμα θα φανεί καλύτερα:

Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική και προσεταιριστική. Υπάρχει διάνυσμα $\overrightarrow{0}$, που το λέμε μηδενικό διάνυσμα, για το οποίο ισχύει $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$, όπως και στους αριθμούς. Για κάθε διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ υπάρχει αντίθετο διάνυσμα $-\overrightarrow{u}$, για το οποίο ισχύει $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$.

Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό

Αν πολλαπλασιάσεις ένα διάνυσμα με έναν πραγματικό αριθμό k, απλώς πολλαπλασιάζεις και τις δύο συντεταγμένες του με τον αριθμό k. Γεωμετρικά αυτό φαίνεται ως «επιμήκυνση» ή «συρρίκνωση» του διανύσματος, ή και αντιστροφή του, αν το k είναι αρνητικό.

Από το σχήμα φαίνεται ότι όταν πολλαπλασιάζουμε το διάνυσμα u με τον αριθμό k, τότε:

• Αν η απόλυτη τιμή του k είναι μικρότερη από ένα, το διάνυσμα γίνεται μικρότερο.
• Αν η απόλυτη τιμή του k είναι μεγαλύτερη από ένα, το διάνυσμα γίνεται μεγαλύτερο.
• Αν το k είναι αρνητικό, το διάνυσμα έχει αντίθετη κατεύθυνση.

Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Στη γραμμική άλγεβρα χρησιμοποιούμε συχνά γραμμικούς συνδυασμούς διανυσμάτων. Αν έχουμε τα διανύσματα ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,{\overrightarrow{u}}_3,\dots$, τότε γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι

• το k-πλάσιο ενός από τα διανύσματα ${\overrightarrow{u}}_n$,
• το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο ή περισσότερων διανυσμάτων,
• συνδυασμός των προηγούμενων – μπορούμε να προσθέσουμε k_n-πλάσια οποιωνδήποτε διανυσμάτων ${\overrightarrow{u}}_n$.

Αν έχουμε τα διανύσματα ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2,\dots ,{\overrightarrow{u}}_n$, τότε το διάνυσμα $\overrightarrow{v}$ είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ${\overrightarrow{u}}_n$, αν ισχύει:

$$\overrightarrow{v}=c_1\cdot {\overrightarrow{u}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{u}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{u}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Πρόσεξε ότι οι συντελεστές c_i είναι πραγματικοί αριθμοί, άρα μπορούμε να διαλέξουμε για κάποιον από αυτούς το μηδέν, οπότε ένα από τα διανύσματα εξαφανίζεται εντελώς. Παράδειγμα: έχουμε τα διανύσματα ${\overrightarrow{u}}_1=(1,3),{\overrightarrow{u}}_2=(0,4),{\overrightarrow{u}}_3=(7,2)$. Αυτοί είναι μερικοί από τους δυνατούς γραμμικούς συνδυασμούς:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$