Operações com vetores

Com vetores podemos realizar operações básicas, como a adição e a multiplicação.

Adição de vetores

Para somar dois vetores, representamos os dois com origem na origem do sistema de coordenadas, completamos a figura até formar um paralelogramo, e a diagonal que parte da origem é o vetor resultante. Claro que preparamos uma figura para ilustrar:

Analiticamente, a soma de vetores é a soma das coordenadas correspondentes. Assim, se você tem dois vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, a soma $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ é igual a

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Para os vetores da figura vale: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4,1)$. A soma fica assim: $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Essas coordenadas correspondem ao ponto D.

Subtrair vetores é o mesmo que somar o vetor oposto. Analiticamente:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Se somamos vetores que estão sobre uma mesma reta e têm o mesmo sentido, apenas esticamos o vetor resultante. Se têm sentidos opostos, subtraímos os módulos. Pela figura, isso fica mais claro:

A adição de vetores é comutativa e associativa. Existe um vetor $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, que chamamos de vetor nulo, para o qual vale $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, como acontece com os números. Para cada vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ existe um vetor oposto $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$, para o qual vale $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Multiplicação de um vetor por um número

Se você multiplica um vetor por um número real k, basta multiplicar as duas coordenadas dele por k. Na interpretação geométrica, isso aparece como “esticar” ou “encolher” o vetor, ou ainda invertê-lo, se k for negativo.

Pela figura, vemos que, quando multiplicamos o vetor u pelo número k:

• Se o valor absoluto de k é menor que um, o vetor fica menor.
• Se o valor absoluto de k é maior que um, o vetor fica maior.
• Se k é negativo, o vetor tem sentido oposto.

Combinação linear de vetores

Na álgebra linear usamos com frequência combinações lineares de vetores. Se temos os vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$, uma combinação linear desses vetores é

• o produto de um dos vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ por um número k,
• a soma de quaisquer dois ou mais vetores,
• uma combinação dos casos anteriores: podemos somar os produtos dos vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ por números k_n quaisquer.

Se temos os vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ é uma combinação linear dos vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ se vale:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Observe que os coeficientes c_i são números reais, e por isso podemos escolher o zero para algum deles, fazendo um dos vetores desaparecer por completo. Exemplo: temos os vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1,3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7,2)$. Estas são algumas das combinações lineares possíveis:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$