Vektorien laskutoimitukset

Vektoreilla voidaan suorittaa perustoimituksia, kuten yhteen- ja kertolasku.

Vektorien yhteenlasku

Kun haluamme laskea kaksi vektoria yhteen, piirrämme ne koordinaatiston origoon ja täydennämme suunnikkaaksi. Origosta lähtevä lävistäjä on tulosvektori. Asiaa havainnollistaa tietysti kuva:

Laskemalla vektorien summa on vastaavien koordinaattien summa. Jos siis sinulla on kaksi vektoria $\overline{u}=(u_1,u_2)$ ja $\overline{v}=(v_1,v_2)$, niiden summa $\overline{u}+\overline{v}$ on

$$\overline{u}+\overline{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Kuvan vektoreille pätee $\overline{u}=(2,4)$ ja $\overline{v}=(4,1)$. Summa on silloin $\overline{u}+\overline{v}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Nämä koordinaatit vastaavat pistettä D.

Kun vähennät vektoreita, se on sama asia kuin lisäisit vastavektorin. Laskemalla:

$$\overline{u}-\overline{v}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Jos lasketaan yhteen vektoreita, jotka ovat samalla suoralla ja samansuuntaisia, tulosvektori vain pitenee. Jos ne ovat vastakkaissuuntaiset, vähennämme niiden pituudet toisistaan. Kuvasta asia näkyy paremmin:

Vektorien yhteenlasku on vaihdannainen ja liitännäinen. On olemassa vektori $\overline{0}$, jota sanomme nollavektoriksi ja jolle pätee $\overline{u}+\overline{0}=\overline{u}$, aivan kuten luvuilla. Jokaiselle vektorille $\overline{u}$ on olemassa vastavektori $-\overline{u}$, jolle pätee $\overline{u}+(-\overline{u})=\overline{0}$.

Vektorin kertominen luvulla

Kun kerrot vektorin reaaliluvulla k, kerrot vain sen molemmat koordinaatit luvulla k. Geometrisesti tämä näkyy vektorin ”venymisenä” tai ”lyhenemisenä” tai kääntymisenä vastakkaiseen suuntaan, jos k on negatiivinen.

Kuvasta nähdään, että kun vektori u kerrotaan luvulla k, niin:

• Jos luvun k itseisarvo on pienempi kuin yksi, vektori lyhenee.
• Jos luvun k itseisarvo on suurempi kuin yksi, vektori pitenee.
• Jos k on negatiivinen, vektorin suunta on vastakkainen.

Vektorien lineaarikombinaatio

Lineaarialgebrassa käytämme usein vektorien lineaarikombinaatioita. Jos meillä on vektorit ${\overline{u}}_1,{\overline{u}}_2,{\overline{u}}_3,\dots$, näiden vektorien lineaarikombinaatio on

• jonkin vektorin ${\overline{u}}_n$ k-kertainen,
• minkä tahansa kahden tai useamman vektorin summa,
• edellisten yhdistelmä: voimme laskea yhteen minkä tahansa vektorien ${\overline{u}}_n$ k_n-kertaiset.

Jos meillä on vektorit ${\overline{u}}_1,{\overline{u}}_2,\dots ,{\overline{u}}_n$, vektori $\overline{v}$ on vektorien ${\overline{u}}_n$ lineaarikombinaatio, jos pätee:

$$\overline{v}=c_1\cdot {\overline{u}}_1+c_2\cdot {\overline{u}}_2+\dots +c_n\cdot {\overline{u}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Huomaa, että kertoimet c_i ovat reaalilukuja, joten voimme valita niistä jonkin nollaksi, jolloin yksi vektoreista katoaa kokonaan. Esimerkki: meillä on vektorit ${\overline{u}}_1=(1,3),{\overline{u}}_2=(0,4),{\overline{u}}_3=(7,2)$. Tässä on joitakin mahdollisia lineaarikombinaatioita:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$