Calculatrice : permutations avec répétition

Combien de « mots » différents obtiens-tu en mélangeant les lettres du mot CORRECTEUR ? Si les dix lettres étaient toutes différentes, il y aurait 10! permutations. Mais le R apparaît trois fois, le C deux fois et le E aussi deux fois. Si tu échanges deux R entre eux, tu obtiens toujours le même mot, et ces doublons ne doivent pas être comptés plusieurs fois.

Dans la calculatrice, saisis le nombre total de lettres (d’éléments) n, puis combien de fois se répète chaque lettre. Les lettres qui n’apparaissent qu’une fois n’ont pas besoin d’être saisies. Laisse les champs inutilisés à 1, car 1! = 1 et cela ne change rien au résultat.

Comment on calcule

On divise donc n! par les factorielles des nombres de répétitions :

$$N=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

CORRECTEUR compte dix lettres. Le R apparaît trois fois, le C et le E deux fois, les lettres O, T et U une seule fois. Si toutes les lettres étaient différentes, on obtiendrait 10! = 3 628 800 ordres. Mais on peut permuter les trois R entre eux de 3! = 6 façons sans changer le mot, les deux C de 2 façons et les deux E aussi de 2 façons. On divise :

$$N=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200$$

Avec les lettres du mot CORRECTEUR, on peut donc former 151 200 mots différents. La plupart n’ont aucun sens, mais CORRECTEUR, TEURCORREC et RECTEURCOR en font partie.