Permutationen mit Wiederholung (Rechner)

Wie viele verschiedene „Wörter“ erhältst du, wenn du die Buchstaben des Wortes MATEMATIKA umstellst? Wären alle zehn Buchstaben verschieden, gäbe es 10! Permutationen. Aber das A kommt dreimal vor, das M zweimal und das T auch zweimal. Vertauschst du zwei A untereinander, ergibt sich dasselbe Wort, und solche vertauschten Doppelgänger dürfen nicht mehrfach gezählt werden.

Gib in den Rechner die Gesamtzahl der Buchstaben (Elemente) n ein und dann, wie oft sich die einzelnen Buchstaben wiederholen. Buchstaben, die im Wort nur einmal vorkommen, musst du nicht eintragen. Lass die nicht benutzten Felder auf der Eins stehen, denn 1! = 1 und das Ergebnis ändert sich dadurch nicht.

So wird gerechnet

Deshalb wird n! durch die Fakultäten der Wiederholungszahlen geteilt:

$$P^{\prime }(k_1;k_2;\dots )=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATIKA hat zehn Buchstaben. Das A kommt dreimal vor, M und T zweimal, E, I und K nur einmal. Wären alle Buchstaben verschieden, gäbe es 10! = 3.628.800 Anordnungen. Die drei A kann man aber auf 3! = 6 Arten untereinander vertauschen, und das Wort bleibt gleich, die beiden M auf zwei Arten und die beiden T ebenfalls auf zwei. Also dividieren wir:

$$P^{\prime }(3;2;2)=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3.628.800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3.628.800}{24}=151.200$$

Aus den Buchstaben von MATEMATIKA lassen sich also 151.200 verschiedene Wörter bilden. Die meisten davon ergeben keinen Sinn, aber MATEMATIKA, KAMATEMATI und TIKAMATEMA sind darunter.