Αριθμομηχανή: μεταθέσεις με επαναλήψεις

Πόσες διαφορετικές «λέξεις» παίρνεις αν αναδιατάξεις τα γράμματα της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Αν και τα δέκα γράμματα ήταν όλα διαφορετικά, θα υπήρχαν 10! μεταθέσεις. Όμως το Α υπάρχει τρεις φορές και το Μ δύο φορές. Αν ανταλλάξεις δύο Α μεταξύ τους, προκύπτει πάλι η ίδια λέξη, και τέτοιες «διπλότυπες» αναδιατάξεις δεν πρέπει να μετρηθούν περισσότερες φορές.

Βάλε στην αριθμομηχανή το συνολικό πλήθος γραμμάτων (στοιχείων) ν και έπειτα πόσες φορές επαναλαμβάνεται κάθε γράμμα. Γράμματα που εμφανίζονται μόνο μία φορά δεν χρειάζεται να τα συμπληρώσεις. Όσα πεδία δεν χρησιμοποιείς, άφησέ τα στο 1, γιατί 1! = 1 και δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.

Πώς υπολογίζεται

Γι' αυτό το ν! το διαιρούμε με τα παραγοντικά των πληθών των επαναλήψεων:

$$P^{\prime }({\kappa }_1,{\kappa }_2,\dots )=\frac{\nu !}{{\kappa }_1!\cdot {\kappa }_2!\cdot \dots }$$

Η λέξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ έχει δέκα γράμματα. Το Α υπάρχει τρεις φορές, το Μ δύο φορές, και τα Θ, Η, Τ, Ι, Κ μόνο μία φορά. Αν όλα τα γράμματα ήταν διαφορετικά, θα υπήρχαν 10! = 3.628.800 μεταθέσεις. Τα τρία Α όμως μπορούμε να τα μεταθέσουμε μεταξύ τους με 3! = 6 τρόπους και η λέξη μένει η ίδια, ενώ τα δύο Μ με 2 τρόπους. Διαιρούμε:

$$P^{\prime }(3,2)=\frac{10!}{3!\cdot 2!}=\frac{3.628.800}{6\cdot 2}=\frac{3.628.800}{12}=302.400$$

Από τα γράμματα της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ παίρνουμε λοιπόν 302.400 διαφορετικές λέξεις. Οι περισσότερες δεν βγάζουν νόημα, αλλά ανάμεσά τους είναι η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, η ΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙ και η ΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑ.