Calculator: permutări cu repetiție

Câte „cuvinte” diferite obții rearanjând literele cuvântului MATEMATICA? Dacă toate cele zece litere ar fi diferite, ar fi 10! permutări. Dar litera A apare de trei ori, M de două ori și T tot de două ori. Dacă schimbi între ele două litere A, obții același cuvânt, iar asemenea dubluri nu trebuie numărate de mai multe ori.

Introdu în calculator numărul total de litere (elemente) n și apoi de câte ori se repetă fiecare literă. Literele care apar o singură dată nu trebuie completate. Câmpurile neutilizate lasă-le pe unu, pentru că 1! = 1 și nu schimbă rezultatul.

Cum se calculează

De aceea se împarte n! la factorialele numerelor de repetări:

$${\bar{P}}_n(k_1,k_2,\dots )=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATICA are zece litere. A apare de trei ori, M și T de câte două ori, iar E, I și C o singură dată. Dacă toate literele ar fi diferite, ar exista 10! = 3.628.800 de ordonări. Cele trei litere A se pot permuta între ele în 3! = 6 moduri, fără ca cuvântul să se schimbe, cele două M în 2 moduri și cele două T la fel. Împărțim:

$${\bar{P}}_{10}(3,2,2)=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3.628.800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3.628.800}{24}=151.200$$

Din literele cuvântului MATEMATICA se pot forma deci 151.200 de cuvinte diferite. Majoritatea nu are sens, dar printre ele se află și MATEMATICA, CAMATEMATI și TICAMATEMA.