Калькулятор: перестановки з повтореннями

Скільки різних «слів» можна отримати, переставивши літери слова МАТЕМАТИКА? Якби всі десять літер були різними, було б 10! перестановок. Але літера А там тричі, а М і Т — по два рази. Коли переставити дві А між собою, слово лишиться тим самим, і такі переставлені двійники не можна рахувати повторно.

У калькулятор введи загальну кількість літер (елементів) n, а потім, скільки разів повторюється кожна окрема літера. Літери, які в слові трапляються лише раз, заповнювати не обов'язково. Поля, які не використовуєш, залиш на одиниці, бо 1! = 1 і на результаті це не позначиться.

Як це обчислюється

Тому n! ділимо на факторіали кількостей повторень:

$$P_n(k_1,k_2,\dots )=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

МАТЕМАТИКА має десять літер. А є тричі, М і Т — по два рази, а Е, И та К лише по разу. Якби всі літери були різними, вийшло б 10! = 3 628 800 порядків. Але три А можна переставляти між собою 3! = 6 способами, і слово лишиться тим самим, дві М — двома способами, і дві Т теж двома. Поділимо:

$$P_{10}(3,2,2)=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200$$

Отже, із літер слова МАТЕМАТИКА можна скласти 151 200 різних слів. Більшість із них не має сенсу, але МАТЕМАТИКА, КАМАТЕМАТИ і ТИКАМАТЕМА серед них є.