Permutacje z powtórzeniami (kalkulator)

Ile różnych „słów” dostaniesz, przestawiając litery słowa MATEMATYKA? Gdyby wszystkie dziesięć liter było różnych, byłoby to 10! permutacji. Problem w tym, że A występuje trzy razy, M dwa razy i T również dwa razy. Gdy zamienisz miejscami dwie A, wyjdzie to samo słowo, a takich słów powstałych z zamiany nie wolno liczyć kilka razy.

Do kalkulatora wpisz łączną liczbę liter (elementów) n, a potem, ile razy powtarza się każda z liter. Liter, które w słowie występują tylko raz, nie musisz wpisywać. Niewykorzystane pola zostaw z jedynką, bo 1! = 1 i nic nie zmienią w wyniku.

Jak to się liczy

Dlatego n! dzielimy przez silnie liczb powtórzeń:

$$P_n^{k_1,k_2,\dots }=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATYKA ma dziesięć liter. A występuje trzy razy, M i T po dwa razy, a E, Y i K tylko raz. Gdyby wszystkie litery były różne, byłoby 10! = 3 628 800 ustawień. Trzy litery A można jednak przestawić między sobą na 3! = 6 sposobów i słowo pozostanie takie samo, dwie M na dwa sposoby i dwie T również na dwa. Dzielimy:

$$P_{10}^{3,2,2}=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200$$

Z liter słowa MATEMATYKA ułożymy więc 151 200 różnych słów. Większość z nich nie ma sensu, ale MATEMATYKA, KAMATEMATY i TYKAMATEMA są wśród nich.