Permutaties met herhaling – rekenmachine

Hoeveel verschillende “woorden” krijg je als je de letters van het woord STATISTIEK door elkaar haalt? Als alle tien letters verschillend waren, zouden het 10! permutaties zijn. Maar de T komt drie keer voor in het woord, de S twee keer en de I ook twee keer. Verwissel je twee T's met elkaar, dan komt er nog steeds hetzelfde woord uit, en zulke verwisselde tweelingen mogen niet meer dan één keer meetellen.

Vul in de rekenmachine het totale aantal letters (elementen) n in en daarna hoe vaak elke letter voorkomt. Letters die maar één keer in het woord staan, hoef je niet in te vullen. Laat ongebruikte velden op één staan, want 1! = 1 en het verandert niets aan de uitkomst.

Hoe je het berekent

Daarom delen we n! door de faculteiten van de aantallen herhalingen:

$$\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

STATISTIEK heeft tien letters. De T komt er drie keer in voor, de S en de I twee keer en de A, E en K maar één keer. Als alle letters verschillend waren, zou dat 10! = 3 628 800 volgordes geven. De drie T's kunnen we echter op 3! = 6 manieren onderling verwisselen zonder dat het woord verandert, de twee S'en op twee manieren en de twee I's ook op twee manieren. We delen:

$$\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200$$

Met de letters van STATISTIEK kunnen we dus 151 200 verschillende woorden maken. De meeste ervan betekenen niets, maar STATISTIEK, KISTATSTIE en TIEKSTATIS zitten er wel tussen.