Permutasjoner med gjentakelse – kalkulator

Hvor mange ulike «ord» får du hvis du stokker om bokstavene i ordet MATEMATIKK? Hvis alle ti bokstavene var forskjellige, ville det vært 10! permutasjoner. Men A står to ganger i ordet, og det samme gjelder M, T og K. Når du bytter plass på de to A-ene, får du fortsatt det samme ordet, og slike like ord skal ikke telles flere ganger.

Skriv inn det totale antallet bokstaver (elementer) n og så hvor mange ganger hver enkelt bokstav gjentas. Bokstaver som bare står én gang i ordet, trenger du ikke å fylle ut. Felt du ikke bruker, lar du stå på én, siden 1! = 1 og det ikke endrer resultatet.

Slik regner vi

Derfor deler vi n! på fakultetene til antallet gjentakelser:

$$\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATIKK har ti bokstaver. A, M, T og K står to ganger hver, E og I bare én gang. Hvis alle bokstavene var forskjellige, ville det gitt 10! = 3 628 800 rekkefølger. Men de to A-ene kan byttes om på 2! = 2 måter uten at ordet endrer seg, og det samme gjelder de to M-ene, de to T-ene og de to K-ene. Vi deler:

$$\frac{10!}{2!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{16}=226800$$

Av bokstavene i MATEMATIKK kan vi altså sette sammen 226 800 ulike ord. De fleste av dem gir ingen mening, men MATEMATIKK, KKITAMATEM og TIKKAMATEM er blant dem.