Permutaatio toistuvin alkioin – laskuri

Kuinka monta erilaista ”sanaa” saat, kun sekoitat sanan KOMBINAATIO kirjaimet? Jos kaikki yksitoista kirjainta olisivat erilaisia, permutaatioita olisi 11!. Mutta O esiintyy sanassa kahdesti, I kahdesti ja A myös kahdesti. Kun vaihdat kaksi A-kirjainta keskenään, syntyy edelleen sama sana, eikä tällaisia vaihdettuja kaksoiskappaleita saa laskea moneen kertaan.

Anna laskuriin kirjainten (alkioiden) kokonaismäärä n ja sitten se, kuinka monta kertaa kukin kirjain toistuu. Kirjaimia, jotka esiintyvät sanassa vain kerran, ei tarvitse täyttää. Jätä käyttämättömät kentät ykköseksi, koska 1! = 1 eikä se muuta tulosta.

Näin se lasketaan

Siksi n! jaetaan toistojen lukumäärien kertomilla:

$$\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

Sanassa KOMBINAATIO on yksitoista kirjainta. O, I ja A esiintyvät kukin kahdesti, ja K, M, B, N ja T vain kerran. Jos kaikki kirjaimet olisivat erilaisia, järjestyksiä olisi 11! = 39 916 800. Kaksi O-kirjainta voi kuitenkin vaihtaa keskenään 2! = 2 tavalla ja sana pysyy samana, samoin I-kirjaimet ja A-kirjaimet. Jaetaan:

$$\frac{11!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{39916800}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{39916800}{8}=4989600$$

Sanan KOMBINAATIO kirjaimista voi siis muodostaa 4 989 600 erilaista sanaa. Useimmilla niistä ei ole mitään merkitystä, mutta KOMBINAATIO, AATIOKOMBIN ja OKMBINAATIO ovat niiden joukossa.