Beregner: permutationer med gentagelser

Hvor mange forskellige »ord« får du, når du bytter rundt på bogstaverne i ordet MATEMATIK? Hvis alle ni bogstaver var forskellige, ville det være 9! permutationer. Men M, A og T forekommer hver to gange i ordet. Når du bytter om på de to A'er, kommer der stadig det samme ord ud, og sådanne ombyttede dobbeltgængere må ikke tælles flere gange.

Indtast i beregneren det samlede antal bogstaver (elementer) n og derefter, hvor mange gange de enkelte bogstaver gentages. Bogstaver, der kun forekommer én gang i ordet, behøver du ikke udfylde. Lad ubrugte felter stå på 1, for 1! = 1 ændrer ikke noget i resultatet.

Sådan beregnes det

Derfor dividerer vi n! med fakulteterne af antallet af gentagelser:

$$\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATIK har ni bogstaver. M, A og T forekommer hver to gange, E, I og K kun én gang. Hvis alle bogstaver var forskellige, ville det give 9! = 362.880 rækkefølger. De to M'er kan vi dog bytte om på 2! = 2 måder, og ordet forbliver det samme, og det samme gælder de to A'er og de to T'er. Vi dividerer:

$$\frac{9!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{362.880}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{362.880}{8}=45.360$$

Af bogstaverne i ordet MATEMATIK kan vi altså danne 45.360 forskellige ord. De fleste af dem giver ikke mening, men MATEMATIK, KITAMATEM og TIKAMATEM er blandt dem.