Calcolatrice: permutazioni con ripetizione

Quante «parole» diverse si ottengono scambiando le lettere della parola MATEMATICA? Se le dieci lettere fossero tutte diverse, sarebbero 10! permutazioni. Però la A compare tre volte, la M due volte e la T due volte. Scambiando due A tra loro si ottiene ancora la stessa parola, e queste copie scambiate non vanno contate più volte.

Nella calcolatrice inserisci il numero totale di lettere (elementi) n e poi quante volte si ripete ciascuna lettera. Per le lettere che compaiono una sola volta non serve compilare nulla. I campi non usati puoi lasciarli sull’1, perché 1! = 1 e non cambia il risultato.

Come si calcola

Perciò n! si divide per i fattoriali dei numeri di ripetizioni:

$$P_n^{(k_1,k_2,\dots )}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATICA ha dieci lettere. La A compare tre volte, la M e la T due volte, E, I e C una sola volta. Se tutte le lettere fossero diverse, si avrebbero 10! = 3.628.800 ordinamenti. Le tre A però possiamo scambiarle tra loro in 3! = 6 modi e la parola resta la stessa, le due M in 2 modi e le due T pure in 2 modi. Dividiamo:

$$P_{10}^{(3,2,2)}=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3.628.800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3.628.800}{24}=151.200$$

Con le lettere della parola MATEMATICA si possono quindi formare 151.200 parole diverse. La maggior parte non ha senso, ma MATEMATICA, CAMATEMATI e TICAMATEMA sono tra queste.