Kalkulačka: permutace s opakováním

Kolik různých „slov“ dostanete, když přeházíte písmena slova MATEMATIKA? Kdyby bylo všech deset písmen různých, bylo by to 10! permutací. Jenže A je ve slově třikrát, M dvakrát a T taky dvakrát. Když prohodíte dvě A mezi sebou, vyjde pořád stejné slovo, a takové prohozené dvojníky se nesmějí počítat víckrát.

Do kalkulačky zadejte celkový počet písmen (prvků) n a pak, kolikrát se opakují jednotlivá písmena. Písmena, která jsou ve slově jen jednou, vyplňovat nemusíte. Nevyužitá pole nechte na jedničce, protože 1! = 1 a na výsledku nic nezmění.

Jak se to počítá

Proto se n! vydělí faktoriály počtů opakování:

$$P^{\prime }(k_1,k_2,\dots )=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATIKA má deset písmen. A je tam třikrát, M a T dvakrát, E, I a K jen jednou. Kdyby byla všechna písmena různá, dalo by to 10! = 3 628 800 pořadí. Tři A ale můžeme mezi sebou přeházet 3! = 6 způsoby a slovo zůstane stejné, obě M dvěma způsoby a obě T taky dvěma. Vydělíme:

$$P^{\prime }(3,2,2)=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200$$

Z písmen slova MATEMATIKA tedy poskládáme 151 200 různých slov. Většina z nich nedává smysl, ale MATEMATIKA, KAMATEMATI i TIKAMATEMA jsou mezi nimi.