Hesap Makinesi: Tekrarlı Permütasyon

MATEMATİK kelimesinin harflerini karıştırırsan kaç farklı “kelime” elde edebilirsin? Dokuz harfin hepsi farklı olsaydı, bu 9! permütasyon olurdu. Ama A, M ve T kelimede ikişer kez geçiyor. İki A’nın yerini değiştirirsen yine aynı kelime çıkar ve bu şekilde oluşan “ikizler” birden fazla sayılmamalıdır.

Hesap makinesine toplam harf (eleman) sayısını n olarak gir, sonra her harfin kaç kez tekrar ettiğini yaz. Yalnızca bir kez geçen harfleri doldurmak zorunda değilsin. Kullanılmayan alanları 1’de bırak, çünkü 1! = 1 ve sonucu değiştirmez.

Nasıl Hesaplanır

Bu yüzden n! değeri, tekrar sayılarının faktöriyellerine bölünür:

$$P^{\prime }(k_1,k_2,\dots )=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATİK kelimesinde dokuz harf var. A, M ve T ikişer kez; E, İ ve K birer kez geçiyor. Bütün harfler farklı olsaydı 9! = 362.880 sıralama olurdu. Ama iki A’yı kendi aralarında 2! = 2 şekilde, iki M’yi ve iki T’yi de ikişer şekilde yer değiştirebiliriz ve kelime aynı kalır. Bölelim:

$$P^{\prime }(2,2,2)=\frac{9!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{362.880}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{362.880}{8}=45.360$$

MATEMATİK kelimesinin harflerinden böylece 45.360 farklı kelime oluşturabiliriz. Çoğu anlamsızdır, ama MATEMATİK, KAMATEMİT ve TİKAMATEM de bunların arasındadır.