Ismétléses permutáció (számológép)

Hány különböző „szót” kapunk, ha átrendezzük a MATEMATIKA szó betűit? Ha mind a tíz betű különböző lenne, 10! permutáció volna. A szóban azonban az A háromszor, az M kétszer és a T is kétszer szerepel. Ha két A-t egymással felcserélünk, ugyanaz a szó jön ki, és az ilyen azonos átrendezéseket nem szabad többször számolni.

A számológépbe írd be az elemek (betűk) összes számát, n, majd azt, hányszor ismétlődnek az egyes betűk. Azokat a betűket, amelyek a szóban csak egyszer szerepelnek, nem kell kitölteni. A kihasználatlan mezőket hagyd egyesen, mert 1! = 1, és az eredményt nem változtatja meg.

A számítás menete

Ezért az n!-t el kell osztani az ismétlések számának faktoriálisaival:

$$P^{\prime }(k_1,k_2,\dots )=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

A MATEMATIKA tíz betűből áll. Az A háromszor szerepel, az M és a T kétszer, az E, az I és a K csak egyszer. Ha minden betű különböző lenne, 10! = 3 628 800 sorrend volna. A három A-t azonban egymás között 3! = 6 módon lehet felcserélni úgy, hogy a szó ugyanaz marad, a két M-et kétféleképpen, a két T-t szintén kétféleképpen. Elosztjuk:

$$P^{\prime }(3,2,2)=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3628800}{24}=151200$$

A MATEMATIKA betűiből tehát 151 200 különböző szót lehet kirakni. A legtöbb nem értelmes, de a MATEMATIKA, a KAMATEMATI és a TIKAMATEMA is köztük van.