Kalkylator: permutationer med upprepning

Hur många olika ”ord” får du när du kastar om bokstäverna i ordet MATEMATIK? Om alla nio bokstäver hade varit olika, hade det blivit 9! permutationer. Men A finns två gånger, M två gånger och T också två gånger. Byter du plats på de två A:na får du fortfarande samma ord, och sådana omkastade dubbletter får inte räknas flera gånger.

Skriv in det totala antalet bokstäver (element) n i kalkylatorn och sedan hur många gånger de olika bokstäverna upprepas. Bokstäver som bara förekommer en gång behöver du inte fylla i. Låt oanvända fält stå kvar på ett, eftersom 1! = 1 och det inte påverkar resultatet.

Så beräknas det

Därför dividerar vi n! med fakulteten av antalet upprepningar:

$$\text{antal permutationer med upprepning}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMATIK har nio bokstäver. A finns två gånger, M och T två gånger, E, I och K bara en gång. Om alla bokstäver hade varit olika hade det blivit 9! = 362 880 ordningar. De två A:na kan vi kasta om sinsemellan på 2! = 2 sätt och ordet förblir detsamma, de två M:na på två sätt och de två T:na också på två sätt. Vi dividerar:

$$\frac{9!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{362880}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{362880}{8}=45360$$

Av bokstäverna i MATEMATIK kan vi alltså bilda 45 360 olika ord. De flesta av dem betyder ingenting, men MATEMATIK, KITEMATAM och MATTEKIMA finns bland dem.