Calculadora de permutações com repetição

Quantas “palavras” diferentes você obtém embaralhando as letras da palavra MATEMÁTICA (sem levar em conta o acento)? Se as dez letras fossem todas diferentes, seriam 10! permutações. Só que o A aparece três vezes na palavra, o M duas vezes e o T também duas vezes. Quando você troca dois A de lugar entre si, sai sempre a mesma palavra, e essas cópias trocadas não podem ser contadas mais de uma vez.

Na calculadora, informe a quantidade total de letras (elementos) n e, depois, quantas vezes cada letra se repete. As letras que aparecem só uma vez na palavra não precisam ser preenchidas. Deixe os campos não usados com 1, porque 1! = 1 e isso não altera o resultado.

Como se calcula

Por isso, dividimos n! pelos fatoriais das quantidades de repetições:

$$P_n^{k_1,k_2,\dots }=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \dots }$$

MATEMÁTICA tem dez letras. O A aparece três vezes, o M e o T duas vezes, e o E, o I e o C só uma vez. Se todas as letras fossem diferentes, teríamos 10! = 3.628.800 ordens. Mas os três A podem ser trocados entre si de 3! = 6 maneiras e a palavra continua a mesma; os dois M, de duas maneiras, e os dois T também de duas. Dividimos:

$$P_{10}^{3,2,2}=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3.628.800}{6\cdot 2\cdot 2}=\frac{3.628.800}{24}=151.200$$

Com as letras da palavra MATEMÁTICA, formamos então 151.200 palavras diferentes. A maioria delas não faz sentido, mas MATEMÁTICA, CAMATEMATI e TICAMATEMA estão entre elas.