Kvadrat

En kvadrat är en grundläggande geometrisk figur som har fyra lika långa sidor, och varje inre vinkel är exakt 90 grader. Det finns också en metod som kallas kvadratkomplettering.

Beskrivning

Ett exempel på en kvadrat kan du se i följande figur.

Varje kvadrat har fyra hörn, vår har hörnen A, B, C, D. I figuren är de markerade med blått. Vi talar då om kvadraten ABCD. Hörnen är förbundna med sträckor så att de bildar kvadratens fyra sidor. Närmare bestämt är det sidorna AB, BC, CD, DA. I figuren är sidorna markerade med feta linjer. Alla sidor har samma längd, nämligen fem.

Varje sida bildar rät vinkel med sina angränsande sidor, alltså en vinkel på 90 grader.

Kvadratens diagonaler

De gröna sträckorna är diagonalerna. Varje kvadrat har två diagonaler, den här har diagonalerna AC och DB. En diagonal är alltså en sträcka som förbinder två motstående hörn i kvadraten. Fler fakta om diagonalerna:

• En diagonal är alltid längre än kvadratens sida.
• Närmare bestämt: om kvadratens sida har längden a har diagonalen d längden $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Det är bara en tillämpning av Pythagoras sats.
• Diagonalerna skär alltid varandra i kvadratens medelpunkt (i tyngdpunkten).
• En diagonal delar kvadraten i två halvor. Båda diagonalerna tillsammans delar kvadraten i fyra fjärdedelar.
• Diagonalerna halverar varandra. Om vi markerar kvadratens medelpunkt med punkten O (som i figuren) är sträckan AO lika lång som sträckan CO.
• En diagonal halverar vinkeln mellan två angränsande sidor. I figuren har till exempel vinkel ABC storleken 90 grader och vinkel ABD storleken 45 grader.
• Diagonalerna är vinkelräta mot varandra.

Omkrets och area

Omkretsen är längden av kvadratens rand, alltså summan av längderna av alla sidor. Om kvadratens sidor har längden a är omkretsen alltså 4 · a. Arean är storleken på den yta som kvadraten upptar. Du tar längden av en sida och multiplicerar den med längden av den angränsande sidan. Men eftersom alla sidor i en kvadrat är lika långa kan du bara multiplicera a · a. Ännu en gång samlat:

$$\begin{array}{rcl}(\text{omkrets})O& =& 4\cdot a\\ (\text{area})A& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Till exempel har kvadraten i föregående figur omkretsen 4 · 5 = 20 och arean 5 · 5 = 25.

Kvadratens läge

Är följande figur en kvadrat?

Den föregående figuren är en kvadrat, eftersom den har fyra sidor som alla är lika långa och varje sida bildar rät vinkel med varje angränsande sida. Om vi vrider kvadraten förblir den en kvadrat. Men om vi till exempel ändrar vinklarnas storlek är det inte längre en kvadrat:

Fyra hörn och fyra lika långa sidor, men alla vinklar är inte räta, så det är ingen kvadrat.

Så konstruerar du en kvadrat

Det är lätt och enkelt att konstruera en kvadrat. Det enda du behöver känna till är sidlängden. Om sidlängden till exempel är tre centimeter ritar du först en sträcka som är tre centimeter lång. Du markerar ändpunkterna som hörnen A och B (eller hur du vill). Sedan måste du med hjälp av linjalen mäta upp en rät vinkel och rita två vinkelräta sträckor från punkterna A och B åt det håll du vill. Sträckorna ska återigen ha längden tre centimeter. Markera de nya punkterna C och D. Till sist förbinder du punkterna C och D med en sträcka.

Omskriven och inskriven cirkel

Omskriven och inskriven cirkel är två begrepp som förekommer tillsammans med kvadrater. Båda cirklarna har sin medelpunkt i kvadratens medelpunkt, alltså i diagonalernas skärningspunkt.

Den omskrivna cirkeln är den cirkel som går genom alla kvadratens hörn. Den har radien AO, där A är ett (valfritt) hörn i kvadraten och O är medelpunkten.

Den inskrivna cirkeln är den cirkel som tangerar alla kvadratens sidor. Den har radien a/2, där a är kvadratens sidlängd.

Kvadratmeter

Med kvadraten hänger också den grundläggande enheten för area ihop, nämligen kvadratmetern. Vad betyder det? Om vi säger att något har arean en kvadratmeter betyder det att ytan har samma area som en kvadrat med sidlängden en meter. Om du har ett rum på 10 kvadratmeter betyder det att det får plats tio sådana kvadrater med sidlängden en meter. Observera att det inte betyder arean av en kvadrat med sidlängden 10 meter! Följande figur visar det tydligt:

Om du tog en kvadrat med sidlängden 10 meter skulle det vara enheten ar. Och en kvadrat med sidlängden 100 meter skulle vara en hektar.