Quadrado

O quadrado é uma figura geométrica básica que tem quatro lados de mesmo comprimento, e cada ângulo interno mede exatamente 90 graus. Existe também um método chamado método de completar quadrados.

Descrição

Um exemplo de quadrado você pode ver na figura a seguir.

Todo quadrado é formado por quatro vértices; o nosso tem os vértices A, B, C, D. Na figura eles estão marcados em azul. Nesse caso, falamos do quadrado ABCD. Esses vértices são ligados por segmentos de modo a formar os quatro lados do quadrado. Mais precisamente, são os lados AB, BC, CD, DA. Na figura, esses lados estão destacados com traços grossos. Cada um desses lados tem o mesmo comprimento, no caso, cinco.

Cada lado forma com seus lados vizinhos um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90 graus.

Diagonais do quadrado

Os segmentos verdes são as diagonais. Todo quadrado tem duas diagonais; este tem as diagonais AC e DB. A diagonal é, portanto, um segmento que liga dois vértices opostos do quadrado. Outros fatos sobre as diagonais:

• A diagonal é sempre maior que o lado do quadrado.
• Mais precisamente: se o lado do quadrado mede a, então a diagonal d mede $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Isso é apenas uma aplicação do teorema de Pitágoras.
• As diagonais sempre se cruzam no centro do quadrado.
• A diagonal divide o quadrado em duas metades. As duas diagonais juntas dividem o quadrado em quatro quartos.
• As próprias diagonais se dividem ao meio mutuamente. Se marcarmos o centro do quadrado com o ponto O (como na figura), então o comprimento do segmento AO será igual ao comprimento do segmento CO.
• A diagonal divide ao meio o ângulo entre lados adjacentes. Por exemplo, na figura o ângulo ABC mede 90 graus e o ângulo ABD mede 45 graus.
• As diagonais formam entre si um ângulo reto.

Perímetro e área

O perímetro é o comprimento do contorno do quadrado, ou seja, a soma dos comprimentos de todos os lados. Vale, então, que, se o quadrado tem lados de comprimento a, o perímetro é igual a 4 · a. A área é a medida da superfície que o quadrado ocupa. Você pega o comprimento de um lado e multiplica pelo comprimento do lado vizinho. Mas, como o quadrado tem todos os lados de mesmo comprimento, basta multiplicar a · a. Mais uma vez, em resumo:

$$\begin{array}{rcl}(\text{perímetro})P& =& 4\cdot a\\ (\text{área})A& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Por exemplo: o quadrado da figura anterior tem perímetro 4 · 5 = 20 e área 5 · 5 = 25.

Posição do quadrado

A figura a seguir é um quadrado?

A figura anterior é um quadrado, porque tem quatro lados, todos de mesmo comprimento, e cada lado forma ângulo reto com cada lado vizinho. Se girarmos o quadrado, ele continua sendo um quadrado. Mas, se mudarmos, por exemplo, as medidas dos ângulos, então já não será um quadrado:

Quatro vértices, quatro lados de mesmo comprimento, mas nem todos os ângulos são retos, então não se trata de um quadrado.

Como desenhar um quadrado

Desenhar um quadrado é simples e direto. A única coisa que você precisa saber é o comprimento do lado. Se o lado mede, digamos, três centímetros, primeiro você desenha um segmento de três centímetros. Marque os extremos como vértices A e B (ou como quiser). Depois você precisa, com o esquadro, medir um ângulo reto e desenhar dois segmentos perpendiculares a partir dos pontos A e B, na direção que quiser. Os segmentos terão de novo comprimento três. Chame os novos pontos de C e D. Por fim, ligue os pontos C e D por um segmento.

Circunferências circunscrita e inscrita

Circunferência circunscrita e circunferência inscrita são dois conceitos que aparecem junto com os quadrados. Ambas as circunferências têm centro no centro do quadrado, isto é, na interseção das diagonais.

A circunferência circunscrita é a circunferência que passa por todos os vértices do quadrado. Tem raio AO, em que A é um vértice do quadrado (qualquer um) e O é o centro.

A circunferência inscrita é a circunferência que toca todos os lados do quadrado. Tem raio a/2, em que a é o comprimento do lado do quadrado.

Metro quadrado

Ao quadrado está ligada também a unidade básica de área, que é justamente o metro quadrado. O que isso significa? Se dizemos que algo tem área de um metro quadrado, isso quer dizer que essa superfície tem a mesma área que um quadrado de lado um metro. Se você tem um quarto de 10 metros quadrados, isso significa que nele cabem dez quadrados de lado um metro. Atenção, isso não quer dizer a área de um quadrado de lado 10 metros! A figura a seguir mostra isso de forma clara:

Se você pegasse um quadrado de lado 10 metros, teríamos a unidade are. Se fosse um quadrado de lado 100 metros, seria o hectare.