Квадрат

Квадратът е основна геометрична фигура, която има четири равни по дължина страни, а всеки вътрешен ъгъл е точно 90 градуса. Съществува и метод, наречен допълване до точен квадрат.

Описание

Пример за квадрат можеш да разгледаш на следващата фигура.

Всеки квадрат се състои от четири върха, нашият има върховете A, B, C, D. На фигурата са отбелязани в синьо. В такъв случай говорим за квадрата ABCD. Тези върхове са свързани с отсечки така, че образуват четирите страни на квадрата. Конкретно това са страните: AB, BC, CD, DA. На фигурата тези страни са показани с дебели линии. Всяка от тези страни има една и съща дължина, конкретно пет.

Всяка страна сключва със съседните си страни прав ъгъл, т.е. ъгъл с мярка 90 градуса.

Диагонали на квадрата

Със зелени отсечки са отбелязани диагоналите. Всеки квадрат има два диагонала, този има диагонали AC и DB. Диагоналът е отсечка, която свързва два срещуположни върха на квадрата. Още факти за диагоналите:

• Диагоналът е винаги по-дълъг от страната на квадрата.
• По-точно: ако страната на квадрата има дължина a, диагоналът d има дължина $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Това е просто приложение на Питагоровата теорема.
• Диагоналите винаги се пресичат в центъра на квадрата (в центъра на тежестта).
• Диагоналът разделя дадения квадрат на две половини. Двата диагонала разделят квадрата на четири еднакви части.
• Самите диагонали се разполовяват взаимно. Ако отбележим центъра на квадрата с точката O (както на фигурата), дължината на отсечката AO ще е същата като дължината на отсечката CO.
• Диагоналът разполовява ъгъла между съседните страни. Например на фигурата ъгълът ABC е 90 градуса, а ъгълът ABD е 45 градуса.
• Диагоналите сключват помежду си прав ъгъл.

Периметър и лице

Периметърът е дължината на границата на квадрата, т.е. сборът от дължините на всички страни. Ако квадратът има страни с дължина a, периметърът е равен на 4 · a. Лицето показва колко голяма част от равнината заема квадратът. Вземаш дължината на едната страна и я умножаваш по дължината на съседната страна. Но тъй като всички страни на квадрата са равни, можеш просто да умножиш a · a. Още веднъж обобщено:

$$\begin{array}{rcl}(\text{периметър})P& =& 4\cdot a\\ (\text{лице})S& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Например: квадратът от предишната фигура има периметър 4 · 5 = 20 и лице 5 · 5 = 25.

Положение на квадрата

Квадрат ли е следната фигура?

Предишната фигура е квадрат, защото има четири страни, всички равни по дължина, и всяка страна сключва с всяка съседна прав ъгъл. Ако завъртим квадрата, той пак си остава квадрат. Ако обаче например променим мерките на ъглите, вече няма да е квадрат:

Четири върха, четири равни по дължина страни, но не всички ъгли са прави, така че това не е квадрат.

Как да начертаем квадрат

Квадратът се чертае лесно и бързо. Единственото, което трябва да знаеш, е дължината на страната. Ако дължината на страната е например три сантиметра, първо чертаеш отсечка с дължина три сантиметра. Означаваш крайните точки като върхове A и B (или както искаш). После с помощта на чертожен триъгълник трябва да отмериш прав ъгъл и да начертаеш две перпендикулярни отсечки от точките A и B в посоката, в която искаш. Отсечките отново ще имат дължина три. Новите точки означи с C и D. Накрая свържи с отсечка точките C и D.

Описана и вписана окръжност

Описаната и вписаната окръжност са две понятия, които се срещат заедно с квадратите. И двете окръжности имат център в центъра на квадрата, т.е. в пресечната точка на диагоналите.

Описаната окръжност е окръжността, която минава през всички върхове на квадрата. Има радиус AO, където A е връх на квадрата (произволен), а O е центърът.

Вписаната окръжност е окръжността, която се допира до всички страни на квадрата. Има радиус a/2, където a е дължината на страната на квадрата.

Квадратен метър

С квадрата е свързана и основната мерна единица за лице – квадратният метър. Какво означава това? Ако кажем, че нещо има лице един квадратен метър, това означава, че лицето му е равно на лицето на квадрат със страна един метър. Ако една стая е с лице 10 квадратни метра, това означава, че в нея се побират десет такива квадрата със страна един метър. Внимание, това не е лицето на квадрат със страна 10 метра! Нагледно го показва следващата фигура:

Ако вземеш квадрат със страна 10 метра, това би била единицата ар. А квадрат със страна 100 метра би бил хектар.