Quadrat

Das Quadrat ist eine geometrische Grundfigur, die vier gleich lange Seiten hat, und jeder Innenwinkel ist genau 90 Grad groß. Es gibt außerdem eine Methode, die quadratische Ergänzung heißt.

Beschreibung

Ein Beispiel für ein Quadrat siehst du auf dem folgenden Bild.

Jedes Quadrat besteht aus vier Ecken, unseres hat die Ecken A, B, C, D. Auf dem Bild sind sie blau markiert. Wir sprechen dann vom Quadrat ABCD. Diese Ecken sind durch Strecken verbunden, sodass sie die vier Seiten des Quadrats bilden. Konkret sind das die Seiten AB, BC, CD, DA. Auf dem Bild sind diese Seiten durch dicke Linien hervorgehoben. Jede dieser Seiten hat dieselbe Länge, nämlich die Länge fünf.

Jede Seite schließt mit ihren Nachbarseiten einen rechten Winkel ein, also einen Winkel der Größe 90 Grad.

Diagonalen des Quadrats

Mit grünen Strecken sind die Diagonalen markiert. Jedes Quadrat hat zwei Diagonalen, dieses hat die Diagonalen AC und DB. Eine Diagonale ist also eine Strecke, die zwei gegenüberliegende Ecken des Quadrats verbindet. Weitere Fakten über die Diagonalen:

• Die Diagonale ist immer länger als die Seite des Quadrats.
• Genauer: Hat die Seite des Quadrats die Länge a, dann hat die Diagonale u die Länge $|u|=a\cdot \sqrt{2}$. Das ist nur eine Anwendung des Satzes des Pythagoras.
• Die Diagonalen schneiden sich immer im Mittelpunkt des Quadrats (im Schwerpunkt).
• Eine Diagonale teilt das Quadrat in zwei Hälften. Beide Diagonalen teilen das Quadrat dann in vier Viertel.
• Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig. Markieren wir den Mittelpunkt des Quadrats mit dem Punkt M (wie auf dem Bild), dann ist die Länge der Strecke AM gleich der Länge der Strecke CM.
• Die Diagonale halbiert den Winkel zwischen benachbarten Seiten. Zum Beispiel hat auf dem Bild der Winkel ABC die Größe 90 Grad und der Winkel ABD die Größe 45 Grad.
• Die Diagonalen schließen miteinander einen rechten Winkel ein.

Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang ist die Länge des Randes des Quadrats, also die Summe der Längen aller Seiten. Hat das Quadrat Seiten der Länge a, dann ist der Umfang gleich 4 · a. Der Flächeninhalt ist die Größe der Fläche, die das Quadrat einnimmt. Du nimmst die Länge einer Seite und multiplizierst sie mit der Länge der benachbarten Seite. Weil aber beim Quadrat alle Seiten gleich lang sind, kannst du einfach a · a multiplizieren. Noch einmal zusammengefasst:

$$\begin{array}{rcl}(\text{Umfang})U& =& 4\cdot a\\ (\text{Flächeninhalt})A& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Zum Beispiel: Das Quadrat auf dem vorigen Bild hat den Umfang 4 · 5 = 20 und den Flächeninhalt 5 · 5 = 25.

Lage des Quadrats

Ist die folgende Figur ein Quadrat?

Die vorige Figur ist ein Quadrat, denn sie hat vier gleich lange Seiten, und jede Seite schließt mit jeder benachbarten einen rechten Winkel ein. Wenn wir das Quadrat drehen, bleibt es ein Quadrat. Ändern wir aber zum Beispiel die Größen der Winkel, dann ist es kein Quadrat mehr:

Vier Ecken, vier gleich lange Seiten, aber nicht alle Winkel sind rechte, also handelt es sich nicht um ein Quadrat.

Wie man ein Quadrat konstruiert

Ein Quadrat lässt sich leicht und ohne Umwege zeichnen. Du musst nur die Seitenlänge kennen. Ist die Seitenlänge zum Beispiel drei Zentimeter, zeichnest du zuerst eine Strecke der Länge drei Zentimeter. Die Endpunkte bezeichnest du als Ecken A und B (oder wie du willst). Dann musst du mit dem Lineal einen rechten Winkel abmessen und zwei dazu senkrechte Strecken von den Punkten A und B in die gewünschte Richtung zeichnen. Die Strecken haben wieder die Länge drei. Bezeichne die neuen Punkte mit C und D. Verbinde schließlich die Punkte C und D mit einer Strecke.

Umkreis und Inkreis

Umkreis und Inkreis sind zwei Begriffe, die zusammen mit Quadraten vorkommen. Beide Kreise haben ihren Mittelpunkt im Mittelpunkt des Quadrats, also im Schnittpunkt der Diagonalen.

Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle Ecken des Quadrats verläuft. Er hat den Radius AM, wobei A eine (beliebige) Ecke des Quadrats ist und M der Mittelpunkt.

Der Inkreis ist der Kreis, der alle Seiten des Quadrats berührt. Er hat den Radius a/2, wobei a die Seitenlänge des Quadrats ist.

Quadratmeter

Mit dem Quadrat hängt auch die Grundeinheit für den Flächeninhalt zusammen, nämlich der Quadratmeter. Was heißt das? Sagen wir, dass etwas eine Fläche von einem Quadratmeter hat, bedeutet das, dass diese Fläche denselben Flächeninhalt hat wie ein Quadrat mit der Seitenlänge ein Meter. Hast du ein Zimmer mit einer Fläche von 10 Quadratmetern, bedeutet das, dass dort zehn solcher Quadrate mit der Seitenlänge ein Meter hineinpassen. Achtung, es bedeutet nicht den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge 10 Meter! Übersichtlich zeigt das das folgende Bild:

Würdest du ein Quadrat mit der Seitenlänge 10 Meter nehmen, wäre das die Einheit Ar. Bei einem Quadrat mit der Seitenlänge 100 Meter wäre es ein Hektar.