勾配（%）を角度に直す

道路で「上り急勾配あり」（または「下り急勾配あり」）の標識を見たことがあるでしょう。この標識は、この先にかなり急な坂があることを知らせています。ところが、角はふつう度ではかるのに、標識は勾配の大きさをパーセントで表しています。勾配をパーセントで表すとは、どういうことなのでしょうか。

12%が何を表しているのかを説明するために、次の図を見てみましょう。

車が点 A にあり、そこに勾配12%の標識が立っているとします。そこから赤い道路を、水平距離で100 m進むまで坂を上っていきます。目的地は点 C で表してあります。水平距離は、点 A と B の間の距離です。車は坂を上るので、実際に走る距離は少し長くなり、距離 AC は AB より少し長くなります。しかし、点 C に着くと、高さは12 m上がっています。これは線分 BC で表してあります。これが標識の意味です。勾配12%とは、この勾配が水平距離で100 m続けば、高さが12 m上がる、ということです。勾配14%なら、100 mで14 m高くなります。

角度（度）の求め方

では、頂点 A にある角 α の大きさは、どうやって求めればよいでしょうか。つまり、上り坂の道路は水平な地面とどんな角をつくっているのでしょうか。三角比、とくにタンジェントを使います。直角三角形では、角のタンジェントは、対辺と隣辺の比に等しいのでした。角 α の対辺は辺 BC、隣辺は辺 AB です。したがって、角αのタンジェントは次のようになります。

$$\tan \alpha =\frac{12}{100}$$

しかし、本当に知りたいのは角のタンジェントではなく、角 α の大きさです。そのためには、辺の比から角の大きさを計算できる逆三角関数のアークタンジェントが必要です。次のように書けます。

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}$$

あとは電卓で計算します。たとえばGoogleの計算機能を使うと、次のようになります。

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}={6.84}^{\circ }$$

道路は、水平な地面とおよそ 6.84° の角をつくっています。

計算ツール

勾配の表し方は3通りあります。道路標識のようにパーセントで表す方法、角度（度）で表す方法、比 1 : n で表す方法です。n は、道が1 m上がるのに必要な水平距離です。比はスロープや屋根などに使われます。わかっている値を入力すると、残りの2つの値を計算します。