Cuadrado

El cuadrado es una figura geométrica básica que tiene cuatro lados de la misma longitud y cuyos ángulos interiores miden exactamente 90 grados. Existe también un método que se llama método de completar el cuadrado.

Descripción

Puedes ver un ejemplo de cuadrado en la siguiente figura.

Todo cuadrado consta de cuatro vértices; el nuestro tiene los vértices A, B, C, D, que en la figura están marcados en azul. Hablamos entonces del cuadrado ABCD. Estos vértices están unidos por segmentos de modo que forman los cuatro lados del cuadrado. En concreto, se trata de los lados AB, BC, CD, DA. En la figura los lados están marcados con líneas gruesas. Cada uno de ellos tiene la misma longitud, en este caso cinco.

Cada lado forma un ángulo recto con los lados contiguos, es decir, un ángulo de 90 grados.

Diagonales del cuadrado

Los segmentos verdes son las diagonales. Todo cuadrado tiene dos diagonales; este tiene las diagonales AC y DB. Una diagonal es, por tanto, un segmento que une dos vértices opuestos del cuadrado. Otros datos sobre las diagonales:

• La diagonal es siempre más larga que el lado del cuadrado.
• Con más precisión: si el lado del cuadrado mide a, la diagonal d mide $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Es una simple aplicación del teorema de Pitágoras.
• Las diagonales siempre se cortan en el centro del cuadrado (en el baricentro).
• Una diagonal divide el cuadrado en dos mitades. Las dos diagonales juntas lo dividen en cuatro cuartos.
• Las diagonales se cortan mutuamente en su punto medio. Si marcamos el centro del cuadrado con el punto O (como en la figura), la longitud del segmento AO será igual a la del segmento CO.
• La diagonal divide en dos partes iguales el ángulo entre los lados contiguos. Por ejemplo, en la figura el ángulo ABC mide 90 grados y el ángulo ABD mide 45 grados.
• Las diagonales forman entre sí un ángulo recto.

Perímetro y área

El perímetro es la longitud del borde del cuadrado, es decir, la suma de las longitudes de todos sus lados. Por tanto, si el cuadrado tiene lados de longitud a, el perímetro es igual a 4 · a. El área es la medida de la superficie que ocupa el cuadrado. Tomas la longitud de un lado y la multiplicas por la longitud del lado contiguo. Pero como todos los lados del cuadrado miden lo mismo, basta multiplicar a · a. Una vez más, todo junto:

$$\begin{array}{rcl}(\text{perímetro})P& =& 4\cdot a\\ (\text{área})A& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Por ejemplo: el cuadrado de la figura anterior tiene perímetro 4 · 5 = 20 y área 5 · 5 = 25.

Posición del cuadrado

¿Es la siguiente figura un cuadrado?

La figura anterior es un cuadrado, porque tiene cuatro lados, todos de la misma longitud, y cada lado forma un ángulo recto con los lados contiguos. Si giramos el cuadrado, sigue siendo un cuadrado. Pero si, por ejemplo, cambiamos la amplitud de los ángulos, ya no lo será:

Cuatro vértices, cuatro lados de la misma longitud, pero no todos los ángulos son rectos, así que no se trata de un cuadrado.

Cómo construir un cuadrado

Un cuadrado se construye de forma sencilla y directa. Lo único que necesitas conocer es la longitud del lado. Si la longitud del lado es, por ejemplo, tres centímetros, primero trazas un segmento de tres centímetros. Marcas sus extremos como vértices A y B (o como quieras). Después, con la escuadra, mides un ángulo recto y trazas dos segmentos perpendiculares desde los puntos A y B hacia el lado que prefieras. Los segmentos volverán a medir tres. Marca los nuevos puntos como C y D. Por último, une con un segmento los puntos C y D.

Circunferencia circunscrita e inscrita

La circunferencia circunscrita y la inscrita son dos conceptos que aparecen junto a los cuadrados. Ambas circunferencias tienen su centro en el centro del cuadrado, es decir, en la intersección de las diagonales.

La circunferencia circunscrita es la que pasa por todos los vértices del cuadrado. Tiene radio AO, donde A es un vértice cualquiera del cuadrado y O es el centro.

La circunferencia inscrita es la que toca todos los lados del cuadrado. Tiene radio a/2, donde a es la longitud del lado del cuadrado.

Metro cuadrado

Con el cuadrado está relacionada también la unidad básica de área, que es precisamente el metro cuadrado. ¿Qué significa? Si decimos que algo tiene una superficie de un metro cuadrado, significa que esa superficie tiene la misma área que un cuadrado de un metro de lado. Si tienes una habitación de 10 metros cuadrados, significa que caben en ella diez cuadrados de un metro de lado. ¡Ojo! No significa el área de un cuadrado de 10 metros de lado. La siguiente figura lo muestra con claridad:

Un cuadrado de 10 metros de lado sería la unidad llamada área. Un cuadrado de 100 metros de lado sería una hectárea.