Carré

Le carré est une figure géométrique de base, qui a quatre côtés de même longueur et dont chaque angle intérieur mesure exactement 90 degrés. Il existe aussi une méthode qu’on appelle la complétion du carré.

Description

Tu peux voir un exemple de carré sur la figure suivante.

Chaque carré a quatre sommets ; le nôtre a les sommets A, B, C, D. Sur la figure, ils sont marqués en bleu. On parle alors du carré ABCD. Ces sommets sont reliés par des segments qui forment les quatre côtés du carré. Il s’agit précisément des côtés [AB], [BC], [CD], [DA]. Sur la figure, ces côtés sont tracés en traits épais. Chacun de ces côtés a la même longueur, ici cinq.

Chaque côté forme avec les côtés voisins un angle droit, donc un angle de 90 degrés.

Diagonales du carré

Les segments verts représentent les diagonales. Chaque carré a deux diagonales, celui-ci a les diagonales [AC] et [DB]. Une diagonale est donc un segment qui relie deux sommets opposés du carré. D’autres faits sur les diagonales :

• La diagonale est toujours plus longue que le côté du carré.
• Plus précisément : si le côté du carré a pour longueur a, alors la diagonale d a pour longueur $d=a\cdot \sqrt{2}$. Ce n’est qu’une application du théorème de Pythagore.
• Les diagonales se coupent toujours au centre du carré (qui est aussi son centre de gravité).
• Une diagonale partage le carré en deux moitiés. Les deux diagonales partagent alors le carré en quatre quarts.
• Les diagonales se coupent mutuellement en leur milieu. Si on marque le centre du carré par le point O (comme sur la figure), alors la longueur du segment [AO] est la même que celle du segment [CO].
• La diagonale est la bissectrice de l’angle entre deux côtés adjacents. Par exemple, sur la figure, l’angle $\widehat{ABC}$ mesure 90 degrés et l’angle $\widehat{ABD}$ mesure 45 degrés.
• Les diagonales forment entre elles un angle droit.

Périmètre et aire

Le périmètre est la longueur du contour du carré, donc la somme des longueurs de tous les côtés. Si le carré a des côtés de longueur a, le périmètre est donc égal à 4 · a. L’aire est la mesure de la surface que le carré occupe. Tu prends la longueur d’un côté et tu la multiplies par la longueur du côté voisin. Mais comme tous les côtés du carré ont la même longueur, tu peux simplement multiplier a · a. Encore une fois, en résumé :

$$\begin{array}{rcl}\text{(périmètre)}\mathcal{P}& =& 4\cdot a\\ \text{(aire)}\mathcal{A}& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Par exemple, le carré de la figure précédente a pour périmètre 4 · 5 = 20 et pour aire 5 · 5 = 25.

Position du carré

La figure suivante est-elle un carré ?

La figure précédente est un carré, car elle a quatre côtés, tous de même longueur, et chaque côté forme un angle droit avec chacun de ses voisins. Si on fait tourner un carré, il reste un carré. Mais si on change par exemple la mesure des angles, ce n’est plus un carré :

Quatre sommets, quatre côtés de même longueur, mais les angles ne sont pas tous droits, donc ce n’est pas un carré.

Comment construire un carré

Un carré se construit facilement et directement. La seule chose qu’il te faut connaître, c’est la longueur du côté. Si la longueur du côté est par exemple de trois centimètres, tu traces d’abord un segment de trois centimètres. Tu nommes ses extrémités A et B (ou comme tu veux). Ensuite, avec l’équerre, tu mesures un angle droit et tu traces deux segments perpendiculaires à partir des points A et B, du côté que tu veux. Ces segments ont de nouveau pour longueur trois. Nomme les nouveaux points C et D. Enfin, relie les points C et D par un segment.

Cercle circonscrit et cercle inscrit

Le cercle circonscrit et le cercle inscrit sont deux notions qui apparaissent avec les carrés. Les deux cercles ont leur centre au centre du carré, donc à l’intersection des diagonales.

Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par tous les sommets du carré. Son rayon est AO, où A est un sommet du carré (n’importe lequel) et O son centre.

Le cercle inscrit est le cercle qui est tangent à tous les côtés du carré. Son rayon est a/2, où a est la longueur du côté du carré.

Mètre carré

L’unité de base pour l’aire est liée au carré : c’est justement le mètre carré. Qu’est-ce que cela signifie ? Si on dit que quelque chose a une surface d’un mètre carré, cela veut dire que cette surface a la même aire qu’un carré dont le côté mesure un mètre. Si une pièce a une surface de 10 mètres carrés, cela veut dire qu’il y entre dix carrés de côté un mètre. Attention, cela ne veut pas dire l’aire d’un carré de côté 10 mètres ! La figure suivante le montre clairement :

Un carré de côté 10 mètres serait une unité appelée are. Un carré de côté 100 mètres serait un hectare.