Négyzet

A négyzet alapvető geometriai alakzat, amelynek négy egyenlő hosszú oldala van, és minden belső szöge pontosan 90 fokos. Létezik egy módszer is, amelyet teljes négyzetté alakításnak hívnak.

Leírás

A négyzetre példát a következő ábrán láthatsz.

Minden négyzet négy csúcsból áll, a miénknek az A, B, C, D csúcsai vannak. Az ábrán kékkel vannak jelölve. Ilyenkor az ABCD négyzetről beszélünk. Ezeket a csúcsokat szakaszok kötik össze úgy, hogy a négyzet négy oldalát alkotják. Konkrétan az oldalak: AB, BC, CD, DA. Az ábrán ezek az oldalak vastag vonallal vannak kiemelve. Mindegyik oldal ugyanolyan hosszú, éspedig öt hosszúságú.

Minden oldal derékszöget zár be a szomszédos oldalaival, tehát 90 fokos szöget.

A négyzet átlói

Zöld szakaszok jelölik az átlókat. Minden négyzetnek két átlója van, ennek az AC és a DB. Az átló tehát olyan szakasz, amely a négyzet két szemközti csúcsát köti össze. További tények az átlókról:

• Az átló mindig hosszabb, mint a négyzet oldala.
• Pontosabban: ha a négyzet oldalának hossza a, akkor az e átló hossza $|e|=a\cdot \sqrt{2}$. Ez csak a Pitagorasz-tétel alkalmazása.
• Az átlók mindig a négyzet középpontjában metszik egymást (a súlypontban).
• Az átló az adott négyzetet két egyenlő részre osztja. A két átló együtt a négyzetet négy negyedre osztja.
• Az átlók maguk is felezik egymást. Ha a négyzet középpontját O ponttal jelöljük (mint az ábrán), akkor az AO szakasz hossza ugyanakkora, mint a CO szakasz hossza.
• Az átló felezi a szomszédos oldalak közti szöget. Például az ábrán az ABC szög 90 fokos, az ABD szög pedig 45 fokos.
• Az átlók egymással derékszöget zárnak be.

Kerület és terület

A kerület a négyzet határvonalának hossza, vagyis az összes oldal hosszának összege. Tehát ha a négyzet oldalainak hossza a, akkor a kerület 4 · a. A terület a négyzet által elfoglalt felület nagysága. Fogod az egyik oldal hosszát, és megszorzod a szomszédos oldal hosszával. Mivel azonban a négyzet minden oldala egyenlő hosszú, egyszerűen kiszámolhatod az a · a szorzatot. Még egyszer összefoglalva:

$$\begin{array}{rcl}(\text{kerület})K& =& 4\cdot a\\ (\text{terület})T& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Például az előző ábrán látható négyzet kerülete 4 · 5 = 20, területe pedig 5 · 5 = 25.

A négyzet helyzete

Négyzet-e a következő alakzat?

Az előző alakzat négyzet, mert négy oldala van, mind egyenlő hosszú, és minden oldal derékszöget zár be az összes szomszédos oldallal. Ha a négyzetet elforgatjuk, az továbbra is négyzet marad. Ha viszont például megváltoztatjuk a szögek nagyságát, akkor az már nem lesz négyzet:

Négy csúcs, négy egyenlő hosszú oldal, de nem minden szög derékszög, ezért nem négyzetről van szó.

Hogyan rajzoljunk négyzetet

A négyzetet könnyű és egyszerű megrajzolni. Az egyetlen, amit tudnod kell, az oldal hossza. Ha az oldal hossza például három centiméter, akkor először megrajzolsz egy három centiméter hosszú szakaszt. A végpontokat elnevezed A és B csúcsnak (vagy ahogy akarod). Ezután vonalzóval derékszöget kell kimérned, és az A és a B pontból merőleges szakaszokat kell rajzolnod abba az irányba, amerre szeretnéd. A szakaszok hossza megint három lesz. Az új pontokat jelöld C-vel és D-vel. Végül köss össze szakasszal a C és a D pontot.

Körülírt és beírt kör

A körülírt és a beírt kör két olyan fogalom, amely a négyzetekkel kapcsolatban előfordul. Mindkét kör középpontja a négyzet középpontjában van, vagyis az átlók metszéspontjában.

A körülírt kör az a kör, amely átmegy a négyzet összes csúcsán. Sugara AO, ahol A a négyzet (tetszőleges) csúcsa, O pedig a középpont.

A beírt kör az a kör, amely érinti a négyzet összes oldalát. Sugara a/2, ahol a a négyzet oldalának hossza.

Négyzetméter

A négyzethez kapcsolódik a terület alapvető mértékegysége is, a négyzetméter. Mit jelent ez? Ha azt mondjuk, hogy valaminek egy négyzetméter a területe, az azt jelenti, hogy annak a felületnek ugyanakkora a területe, mint egy olyan négyzetnek, amelynek az oldala egy méter hosszú. Ha egy szoba területe 10 négyzetméter, az azt jelenti, hogy tíz ilyen, egy méter oldalhosszúságú négyzet fér el benne. Vigyázat, ez nem a 10 méter oldalhosszúságú négyzet területét jelenti! A következő ábra áttekinthetően mutatja:

Ha 10 méter oldalhosszúságú négyzetet vennél, akkor az egy ár lenne. Ha 100 méter oldalhosszúságú négyzetet, akkor egy hektár.