Kvadrat

Kvadratet er en grunnleggende geometrisk figur som har fire like lange sider, og hver indre vinkel er nøyaktig 90 grader. Det finnes også en metode som kalles kvadratkomplettering.

Beskrivelse

Du kan se et eksempel på et kvadrat på følgende figur.

Hvert kvadrat har fire hjørner, og vårt har hjørnene A, B, C, D. På figuren er de markert med blått. Vi snakker i så fall om kvadratet ABCD. Disse hjørnene er forbundet med linjestykker slik at de danner de fire sidene i kvadratet. Nærmere bestemt er det sidene AB, BC, CD, DA. På figuren er disse sidene markert med tykke streker. Hver av disse sidene har samme lengde, nærmere bestemt lengde fem.

Hver side danner en rett vinkel med nabosidene sine, altså en vinkel på 90 grader.

Diagonalene i kvadratet

De grønne linjestykkene er diagonalene. Hvert kvadrat har to diagonaler, og dette har diagonalene AC og DB. En diagonal er altså et linjestykke som forbinder to motstående hjørner i kvadratet. Flere fakta om diagonalene:

• Diagonalen er alltid lengre enn en side i kvadratet.
• Mer presist: Hvis siden i kvadratet har lengde a, har diagonalen d lengden $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Det er bare en anvendelse av Pytagoras' setning.
• Diagonalene skjærer alltid hverandre i midtpunktet av kvadratet (i tyngdepunktet).
• En diagonal deler kvadratet i to halvdeler. De to diagonalene deler kvadratet i fire fjerdedeler.
• Diagonalene halverer hverandre. Hvis vi markerer midtpunktet av kvadratet med punktet S (som på figuren), er lengden av linjestykket AS den samme som lengden av linjestykket CS.
• Diagonalen halverer vinkelen mellom nabosidene. For eksempel er vinkelen ABC på figuren 90 grader, og vinkelen ABD er 45 grader.
• Diagonalene står vinkelrett på hverandre.

Omkrets og areal

Omkretsen er lengden av randen av kvadratet, altså summen av lengdene av alle sidene. Hvis kvadratet har sidelengde a, er altså omkretsen lik 4 · a. Arealet er størrelsen på flaten kvadratet dekker. Du tar lengden av én side og multipliserer den med lengden av nabosiden. Men siden alle sidene i et kvadrat er like lange, kan du bare multiplisere a · a. Enda en gang samlet:

$$\begin{array}{rcl}(\text{omkrets})O& =& 4\cdot a\\ (\text{areal})A& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

For eksempel: Kvadratet på den forrige figuren har omkrets 4 · 5 = 20 og areal 5 · 5 = 25.

Plasseringen av kvadratet

Er følgende figur et kvadrat?

Den forrige figuren er et kvadrat, for den har fire sider som alle er like lange, og hver side danner en rett vinkel med hver av nabosidene. Hvis vi dreier kvadratet, er det fortsatt et kvadrat. Men hvis vi for eksempel endrer størrelsen på vinklene, er det ikke lenger et kvadrat:

Fire hjørner, fire like lange sider, men ikke alle vinklene er rette, så dette er ikke et kvadrat.

Slik konstruerer du et kvadrat

Et kvadrat er lett og greit å konstruere. Det eneste du trenger å vite, er sidelengden. Hvis sidelengden for eksempel er tre centimeter, begynner du med å tegne et linjestykke på tre centimeter. Du markerer endepunktene som hjørnene A og B (eller hva du vil). Deretter må du bruke linjalen til å måle en rett vinkel og tegne to linjestykker som står vinkelrett fra punktene A og B, i den retningen du vil. Linjestykkene skal igjen ha lengde tre. Kall de nye punktene C og D. Til slutt forbinder du punktene C og D med et linjestykke.

Omskrevet og innskrevet sirkel

Omskrevet og innskrevet sirkel er to begreper som dukker opp sammen med kvadrater. Begge sirklene har sentrum i midtpunktet av kvadratet, altså i skjæringspunktet mellom diagonalene.

Den omskrevne sirkelen er sirkelen som går gjennom alle hjørnene i kvadratet. Den har radius AS, der A er et hjørne i kvadratet (et vilkårlig et) og S er midtpunktet.

Den innskrevne sirkelen er sirkelen som tangerer alle sidene i kvadratet. Den har radius a/2, der a er sidelengden i kvadratet.

Kvadratmeter

Den grunnleggende enheten for areal henger også sammen med kvadratet, og det er nettopp kvadratmeteren. Hva betyr det? Hvis vi sier at noe har et areal på én kvadratmeter, betyr det at flaten har samme areal som et kvadrat med sidelengde én meter. Hvis du har et rom på 10 kvadratmeter, betyr det at det er plass til ti slike kvadrater med sidelengde én meter. Pass på, det betyr ikke arealet av et kvadrat med sidelengde 10 meter! Følgende figur viser det oversiktlig:

Hvis du tok et kvadrat med sidelengde 10 meter, ville arealet vært enheten ar. Og hvis kvadratet hadde sidelengde 100 meter, ville det vært en hektar.