Pătratul

Pătratul este o figură geometrică de bază, care are patru laturi de aceeași lungime, iar fiecare unghi interior are măsura de exact 90 de grade. Există și o metodă care se numește metoda formării pătratului perfect.

Descriere

Un exemplu de pătrat poți vedea în figura următoare.

Fiecare pătrat are patru vârfuri; al nostru are vârfurile A, B, C, D. În figură sunt marcate cu albastru. În acest caz vorbim despre pătratul ABCD. Aceste vârfuri sunt unite prin segmente care formează cele patru laturi ale pătratului. Mai precis, este vorba despre laturile AB, BC, CD, DA. În figură, aceste laturi sunt trasate cu linii groase. Fiecare dintre ele are aceeași lungime, anume cinci.

Fiecare latură formează cu laturile vecine un unghi drept, adică un unghi de 90 de grade.

Diagonalele pătratului

Cu segmente verzi sunt marcate diagonalele. Fiecare pătrat are două diagonale; acesta are diagonalele AC și DB. Diagonala este deci segmentul care unește două vârfuri opuse ale pătratului. Alte fapte despre diagonale:

• Diagonala este întotdeauna mai lungă decât latura pătratului.
• Mai precis: dacă latura pătratului are lungimea a, atunci diagonala d are lungimea $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Este doar o aplicare a teoremei lui Pitagora.
• Diagonalele se intersectează întotdeauna în centrul pătratului (în centrul de greutate).
• O diagonală împarte pătratul dat în două jumătăți. Cele două diagonale împart apoi pătratul în patru sferturi.
• Diagonalele se înjumătățesc reciproc. Dacă notăm centrul pătratului cu punctul O (ca în figură), atunci lungimea segmentului AO va fi egală cu lungimea segmentului CO.
• Diagonala este bisectoarea unghiului dintre laturile alăturate. De exemplu, în figură unghiul ABC are măsura de 90 de grade, iar unghiul ABD are măsura de 45 de grade.
• Diagonalele formează între ele un unghi drept.

Perimetrul și aria

Perimetrul este lungimea conturului pătratului, adică suma lungimilor tuturor laturilor. Deci, dacă pătratul are laturile de lungime a, perimetrul este egal cu 4 · a. Aria este mărimea suprafeței pe care o ocupă pătratul. Iei lungimea unei laturi și o înmulțești cu lungimea laturii vecine. Dar, fiindcă pătratul are toate laturile egale, poți pur și simplu să calculezi a · a. Încă o dată, pe scurt:

$$\begin{array}{rcl}(\text{perimetrul})P& =& 4\cdot a\\ (\text{aria})\mathcal{A}& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

De exemplu: pătratul din figura precedentă are perimetrul 4 · 5 = 20 și aria 5 · 5 = 25.

Poziția pătratului

Este figura următoare un pătrat?

Figura precedentă este un pătrat, pentru că are patru laturi, toate de aceeași lungime, iar fiecare latură formează un unghi drept cu fiecare latură vecină. Dacă rotim pătratul, el rămâne tot pătrat. Dacă însă modificăm, de exemplu, măsurile unghiurilor, nu mai este pătrat:

Patru vârfuri, patru laturi de aceeași lungime, dar nu toate unghiurile sunt drepte, deci nu este vorba despre un pătrat.

Cum construim un pătrat

Pătratul se construiește ușor și direct. Singurul lucru de care ai nevoie este lungimea laturii. Dacă lungimea laturii este, de exemplu, trei centimetri, mai întâi construiești un segment de trei centimetri. Notezi capetele cu A și B (sau cum vrei). Apoi, cu ajutorul echerului, măsori un unghi drept și construiești două segmente perpendiculare pe latura construită, din punctele A și B, în direcția dorită. Segmentele vor avea din nou lungimea trei. Notează noile puncte cu C și D. La final, unește punctele C și D printr-un segment.

Cercul circumscris și cercul înscris

Cercul circumscris și cercul înscris sunt două noțiuni care apar împreună cu pătratele. Ambele cercuri au centrul în centrul pătratului, adică în intersecția diagonalelor.

Cercul circumscris este cercul care trece prin toate vârfurile pătratului. Are raza AO, unde A este un vârf al pătratului (oricare) și O este centrul.

Cercul înscris este cercul care este tangent la toate laturile pătratului. Are raza a/2, unde a este lungimea laturii pătratului.

Metrul pătrat

De pătrat este legată și unitatea de măsură de bază pentru arie, adică tocmai metrul pătrat. Ce înseamnă asta? Dacă spunem că ceva are o suprafață de un metru pătrat, înseamnă că suprafața respectivă are aceeași arie ca un pătrat cu latura de un metru. Dacă ai o cameră cu suprafața de 10 metri pătrați, înseamnă că în ea încap zece astfel de pătrate cu latura de un metru. Atenție, nu înseamnă aria unui pătrat cu latura de 10 metri! Figura următoare arată clar acest lucru:

Dacă ai lua un pătrat cu latura de 10 metri, ar fi vorba despre unitatea numită ar. Un pătrat cu latura de 100 de metri ar fi un hectar.