Vierkant

Een vierkant is een basale meetkundige figuur met vier even lange zijden, en elke binnenhoek is precies 90 graden. Er bestaat ook een methode die de methode van kwadraat afsplitsen heet.

Beschrijving

Een voorbeeld van een vierkant zie je in de volgende afbeelding.

Elk vierkant heeft vier hoekpunten, het onze heeft de hoekpunten A, B, C, D. In de afbeelding zijn ze blauw aangegeven. We spreken dan van vierkant ABCD. Deze hoekpunten zijn zo met lijnstukken verbonden dat ze de vier zijden van het vierkant vormen. Het gaat om de zijden AB, BC, CD, DA. In de afbeelding zijn deze zijden met dikke lijnen aangegeven. Elk van deze zijden heeft dezelfde lengte, namelijk vijf.

Elke zijde maakt met de naburige zijden een rechte hoek, dus een hoek van 90 graden.

Diagonalen van een vierkant

Met groene lijnstukken zijn de diagonalen aangegeven. Elk vierkant heeft twee diagonalen, dit vierkant heeft de diagonalen AC en DB. Een diagonaal is dus een lijnstuk dat twee overstaande hoekpunten van het vierkant verbindt. Nog enkele feiten over diagonalen:

• Een diagonaal is altijd langer dan een zijde van het vierkant.
• Preciezer: als een zijde van het vierkant lengte a heeft, dan heeft de diagonaal d lengte $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Dat is gewoon een toepassing van de stelling van Pythagoras.
• De diagonalen snijden elkaar altijd in het midden van het vierkant (in het zwaartepunt).
• Een diagonaal verdeelt het vierkant in twee helften. De twee diagonalen samen verdelen het vierkant in vier kwarten.
• De diagonalen zelf halveren elkaar. Als we het middelpunt van het vierkant aangeven met punt M (zoals in de afbeelding), dan is de lengte van lijnstuk AM gelijk aan de lengte van lijnstuk CM.
• Een diagonaal halveert de hoek tussen de aanliggende zijden. In de afbeelding is hoek ABC bijvoorbeeld 90 graden en hoek ABD is 45 graden.
• De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

Omtrek en oppervlakte

De omtrek is de lengte van de rand van het vierkant, dus de som van de lengtes van alle zijden. Als een vierkant zijden van lengte a heeft, dan is de omtrek dus gelijk aan 4 · a. De oppervlakte is de grootte van het vlak dat het vierkant inneemt. Je neemt de lengte van één zijde en vermenigvuldigt die met de lengte van de aanliggende zijde. Maar omdat een vierkant alle zijden even lang heeft, kun je ook gewoon a · a vermenigvuldigen. Nog één keer samengevat:

$$\begin{array}{rcl}(\text{omtrek})O& =& 4\cdot a\\ (\text{oppervlakte})\text{opp.}& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Een voorbeeld: het vierkant in de vorige afbeelding heeft omtrek 4 · 5 = 20 en oppervlakte 5 · 5 = 25.

Ligging van een vierkant

Is de volgende figuur een vierkant?

De vorige figuur is een vierkant, want hij heeft vier zijden, die allemaal even lang zijn, en elke zijde maakt met elke aanliggende zijde een rechte hoek. Als we het vierkant draaien, blijft het een vierkant. Maar als we bijvoorbeeld de groottes van de hoeken veranderen, is het geen vierkant meer:

Vier hoekpunten, vier even lange zijden, maar niet alle hoeken zijn recht, dus het is geen vierkant.

Hoe teken je een vierkant

Een vierkant teken je gemakkelijk en rechttoe rechtaan. Het enige wat je moet weten is de lengte van de zijde. Als de zijde bijvoorbeeld drie centimeter is, teken je eerst een lijnstuk van drie centimeter. De eindpunten noem je hoekpunten A en B (of hoe je maar wilt). Daarna meet je met de geodriehoek een rechte hoek af en teken je vanuit de punten A en B twee loodrechte lijnstukken in de richting die je wilt. De lijnstukken hebben weer lengte drie. De nieuwe punten noem je C en D. Tot slot verbind je de punten C en D met een lijnstuk.

Omgeschreven en ingeschreven cirkel

De omgeschreven en de ingeschreven cirkel zijn twee begrippen die bij vierkanten voorkomen. Beide cirkels hebben hun middelpunt in het midden van het vierkant, dus in het snijpunt van de diagonalen.

De omgeschreven cirkel is de cirkel die door alle hoekpunten van het vierkant gaat. Hij heeft straal AM, waarbij A een (willekeurig) hoekpunt van het vierkant is en M het middelpunt.

De ingeschreven cirkel is de cirkel die alle zijden van het vierkant raakt. Hij heeft straal a/2, waarbij a de lengte van de zijde van het vierkant is.

Vierkante meter

Met het vierkant hangt ook de basiseenheid voor oppervlakte samen, en dat is de vierkante meter. Wat betekent dat? Als we zeggen dat iets een oppervlakte van één vierkante meter heeft, betekent dat dat die oppervlakte even groot is als die van een vierkant met zijde van één meter. Als je een kamer hebt met een oppervlakte van 10 vierkante meter, betekent dat dat er tien van die vierkanten met zijde van één meter in passen. Let op, het betekent niet de oppervlakte van een vierkant met zijde van 10 meter! Overzichtelijk zie je dat in de volgende afbeelding:

Als je een vierkant met een zijde van 10 meter zou nemen, zou het om de eenheid are gaan. Bij een vierkant met een zijde van 100 meter zou het een hectare zijn.