Kvadrat

Et kvadrat er en grundlæggende geometrisk figur, som har fire lige lange sider, og hver indre vinkel er netop 90 grader. Der findes også en metode, som kaldes kvadratkomplettering.

Beskrivelse

Et eksempel på et kvadrat kan du se på den følgende figur.

Hvert kvadrat har fire hjørner, vores har hjørnerne A, B, C, D. På figuren er de markeret med blåt. Vi taler i så fald om kvadratet ABCD. Disse hjørner er forbundet med linjestykker, så de danner kvadratets fire sider. Konkret er det siderne AB, BC, CD, DA. På figuren er disse sider markeret med tykke streger. Hver af disse sider har samme længde, nemlig fem.

Hver side danner en ret vinkel med sine nabosider, altså en vinkel på 90 grader.

Kvadratets diagonaler

De grønne linjestykker er diagonalerne. Hvert kvadrat har to diagonaler, dette har diagonalerne AC og DB. En diagonal er altså et linjestykke, som forbinder to modstående hjørner i kvadratet. Flere fakta om diagonalerne:

• En diagonal er altid længere end kvadratets side.
• Mere præcist: hvis kvadratets side har længden a, har diagonalen d længden $|d|=a\cdot \sqrt{2}$. Det er blot en anvendelse af Pythagoras' sætning.
• Diagonalerne skærer altid hinanden i kvadratets midtpunkt (i tyngdepunktet).
• En diagonal deler kvadratet i to halvdele. De to diagonaler tilsammen deler kvadratet i fire fjerdedele.
• Diagonalerne halverer hinanden. Hvis vi markerer kvadratets midtpunkt med punktet M (som på figuren), så er længden af linjestykket AM lig med længden af linjestykket CM.
• En diagonal halverer vinklen mellem nabosiderne. For eksempel er vinklen ABC på figuren 90 grader, og vinklen ABD er 45 grader.
• Diagonalerne danner en ret vinkel med hinanden.

Omkreds og areal

Omkredsen er længden af kvadratets rand, altså summen af længderne af alle sider. Det gælder derfor, at hvis kvadratet har sider af længden a, så er omkredsen lig med 4 · a. Arealet er størrelsen af den flade, som kvadratet optager. Du tager længden af den ene side og ganger den med længden af den tilstødende side. Men fordi alle kvadratets sider er lige lange, kan du bare gange a · a. Endnu en gang samlet:

$$\begin{array}{rcl}(\text{omkreds})O& =& 4\cdot a\\ (\text{areal})A& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

For eksempel: kvadratet på den foregående figur har omkredsen 4 · 5 = 20 og arealet 5 · 5 = 25.

Kvadratets placering

Er den følgende figur et kvadrat?

Den foregående figur er et kvadrat, for den har fire sider, alle lige lange, og hver side danner en ret vinkel med hver naboside. Hvis vi drejer kvadratet, er det stadig et kvadrat. Men hvis vi for eksempel ændrer vinklernes størrelse, så er det ikke længere et kvadrat:

Fire hjørner, fire lige lange sider, men ikke alle vinkler er rette, så det er ikke et kvadrat.

Sådan tegner du et kvadrat

Et kvadrat er let og ligetil at tegne. Det eneste, du skal kende, er sidelængden. Hvis sidelængden for eksempel er tre centimeter, tegner du først et linjestykke på tre centimeter. Du markerer endepunkterne som hjørnerne A og B (eller hvad du vil). Derefter skal du ved hjælp af linealen afsætte en ret vinkel og tegne to vinkelrette linjestykker fra punkterne A og B i den retning, du vil. Linjestykkerne får igen længden tre. Kald de nye punkter C og D. Til sidst forbinder du punkterne C og D med et linjestykke.

Omskreven og indskreven cirkel

Omskreven og indskreven cirkel er to begreber, som optræder sammen med kvadrater. Begge cirkler har centrum i kvadratets midtpunkt, altså i skæringspunktet mellem diagonalerne.

Den omskrevne cirkel er den cirkel, som går gennem alle kvadratets hjørner. Den har radius AM, hvor A er et hjørne af kvadratet (et vilkårligt) og M er midtpunktet.

Den indskrevne cirkel er den cirkel, som rører alle kvadratets sider. Den har radius a/2, hvor a er kvadratets sidelængde.

Kvadratmeter

Med kvadratet hænger også grundenheden for areal sammen, nemlig kvadratmeter. Hvad betyder det? Hvis vi siger, at noget har et areal på én kvadratmeter, betyder det, at fladen har samme areal som et kvadrat med sidelængden én meter. Hvis du har et værelse på 10 kvadratmeter, betyder det, at der er plads til ti kvadrater med sidelængden én meter. Pas på, det betyder ikke arealet af et kvadrat med sidelængden 10 meter! Det vises overskueligt på den følgende figur:

Hvis du tog et kvadrat med sidelængden 10 meter, ville det være enheden ar. Hvis kvadratet havde sidelængden 100 meter, ville det være en hektar.