Τετράγωνο

Το τετράγωνο είναι ένα βασικό γεωμετρικό σχήμα που έχει τέσσερις ίσες πλευρές και κάθε εσωτερική γωνία έχει μέτρο ακριβώς 90 μοίρες. Υπάρχει και μια μέθοδος που λέγεται μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου.

Περιγραφή

Ένα παράδειγμα τετραγώνου μπορείς να δεις στο επόμενο σχήμα.

Κάθε τετράγωνο αποτελείται από τέσσερις κορυφές, το δικό μας περιέχει τις κορυφές A, B, C, D. Στο σχήμα είναι σημειωμένες με μπλε. Μιλάμε σε αυτή την περίπτωση για το τετράγωνο ABCD. Αυτές οι κορυφές ενώνονται με ευθύγραμμα τμήματα ώστε να σχηματίζουν τέσσερις πλευρές του τετραγώνου. Συγκεκριμένα πρόκειται για τις πλευρές: AB, BC, CD, DA. Στο σχήμα αυτές οι πλευρές είναι σημειωμένες με έντονες γραμμές. Κάθε μία από αυτές τις πλευρές έχει το ίδιο μήκος, συγκεκριμένα μήκος πέντε.

Κάθε πλευρά σχηματίζει με τις γειτονικές της πλευρές ορθή γωνία, δηλαδή γωνία μέτρου 90 μοιρών.

Διαγώνιοι του τετραγώνου

Με πράσινα ευθύγραμμα τμήματα σημειώνονται οι διαγώνιοι. Κάθε τετράγωνο έχει δύο διαγώνιους, αυτό εδώ έχει τις διαγώνιους AC και DB. Διαγώνιος είναι λοιπόν ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο απέναντι κορυφές του τετραγώνου. Περισσότερα στοιχεία για τις διαγώνιους:

• Η διαγώνιος είναι πάντα μεγαλύτερη από την πλευρά του τετραγώνου.
• Πιο συγκεκριμένα: αν η πλευρά του τετραγώνου έχει μήκος a, τότε η διαγώνιος u έχει μήκος $|u|=a\cdot \sqrt{2}$. Είναι απλά εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος.
• Οι διαγώνιοι τέμνονται πάντα στο κέντρο του τετραγώνου (στο βαρύκεντρο).
• Η διαγώνιος χωρίζει το δοσμένο τετράγωνο σε δύο μισά. Και οι δύο διαγώνιοι μαζί χωρίζουν το τετράγωνο σε τέσσερα τέταρτα.
• Οι ίδιες οι διαγώνιοι διχοτομούνται μεταξύ τους. Αν σημειώσουμε το κέντρο του τετραγώνου με το σημείο O (όπως στο σχήμα), τότε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος AO θα είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος CO.
• Η διαγώνιος διχοτομεί τη γωνία ανάμεσα στις προσκείμενες πλευρές. Για παράδειγμα, στο σχήμα η γωνία ABC έχει μέτρο 90 μοίρες και η γωνία ABD έχει μέτρο 45 μοίρες.
• Οι διαγώνιοι σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία.

Περίμετρος και εμβαδόν

Η περίμετρος είναι το μήκος του περιγράμματος του τετραγώνου, δηλαδή το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών. Ισχύει έτσι ότι, αν το τετράγωνο έχει πλευρές μήκους a, τότε η περίμετρος είναι ίση με 4 · a. Το εμβαδόν είναι το μέγεθος της επιφάνειας που καταλαμβάνει το τετράγωνο. Παίρνεις το μήκος της μίας πλευράς και το πολλαπλασιάζεις με το μήκος της γειτονικής πλευράς. Επειδή όμως το τετράγωνο έχει όλες τις πλευρές ίσες, μπορείς απλά να πολλαπλασιάσεις a · a. Άλλη μία φορά συνοπτικά:

$$\begin{array}{rcl}(\text{περίμετρος})\mathrm{\Pi }& =& 4\cdot a\\ (\text{εμβαδόν})E& =& a\cdot a=a^2\end{array}$$

Για παράδειγμα: το τετράγωνο στο προηγούμενο σχήμα έχει περίμετρο 4 · 5 = 20 και εμβαδόν 5 · 5 = 25.

Θέση του τετραγώνου

Είναι το επόμενο σχήμα τετράγωνο;

Το προηγούμενο σχήμα είναι τετράγωνο, γιατί έχει τέσσερις πλευρές, όλες ίσες, και κάθε πλευρά σχηματίζει με κάθε γειτονική ορθή γωνία. Αν περιστρέψουμε το τετράγωνο, παραμένει τετράγωνο. Αν όμως, για παράδειγμα, αλλάξουμε τα μέτρα των γωνιών, τότε δεν θα είναι πια τετράγωνο:

Τέσσερις κορυφές, τέσσερις ίσες πλευρές, αλλά δεν είναι όλες οι γωνίες ορθές, άρα δεν πρόκειται για τετράγωνο.

Πώς σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο

Το τετράγωνο σχεδιάζεται εύκολα και απλά. Το μόνο που χρειάζεσαι είναι το μήκος της πλευράς. Αν το μήκος της πλευράς είναι, ας πούμε, τρία εκατοστά, τότε πρώτα σχεδιάζεις ευθύγραμμο τμήμα μήκους τρία εκατοστά. Σημειώνεις τα άκρα ως κορυφές A και B (ή όπως θέλεις). Μετά πρέπει με τον χάρακα να μετρήσεις ορθή γωνία και να σχεδιάσεις δύο κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από τα σημεία A και B προς την κατεύθυνση που θέλεις. Τα τμήματα θα έχουν πάλι μήκος τρία. Τα νέα σημεία σημείωσέ τα C και D. Τέλος, ένωσε με ευθύγραμμο τμήμα τα σημεία C και D.

Περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος

Ο περιγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος κύκλος είναι δύο έννοιες που εμφανίζονται μαζί με τα τετράγωνα. Και οι δύο κύκλοι έχουν κέντρο στο κέντρο του τετραγώνου, δηλαδή στην τομή των διαγωνίων.

Περιγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές του τετραγώνου. Έχει ακτίνα AO, όπου A είναι μια κορυφή του τετραγώνου (οποιαδήποτε) και O το κέντρο.

Εγγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που εφάπτεται σε όλες τις πλευρές του τετραγώνου. Έχει ακτίνα a/2, όπου a είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου.

Τετραγωνικό μέτρο

Με το τετράγωνο συνδέεται και η βασική μονάδα για το εμβαδόν, που είναι ακριβώς το τετραγωνικό μέτρο. Τι σημαίνει αυτό; Αν πούμε ότι κάτι έχει επιφάνεια ένα τετραγωνικό μέτρο, σημαίνει ότι αυτή η επιφάνεια έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα τετράγωνο που έχει μήκος πλευράς ένα μέτρο. Αν έχεις ένα δωμάτιο επιφάνειας 10 τετραγωνικών μέτρων, σημαίνει ότι χωράνε εκεί δέκα τέτοια τετράγωνα με πλευρά μήκους ένα μέτρο. Προσοχή, δεν σημαίνει το εμβαδόν τετραγώνου με μήκος πλευράς 10 μέτρα! Συνοπτικά το δείχνει το επόμενο σχήμα:

Αν έπαιρνες ένα τετράγωνο με πλευρά μήκους 10 μέτρων, τότε θα επρόκειτο για τη μονάδα άριο. Αν έπαιρνες τετράγωνο με μήκος πλευράς 100 μέτρων, θα ήταν ένα εκτάριο.