Дробово-лінійна функція

Дробово-лінійна функція — це функція, у якої і в чисельнику, і в знаменнику стоїть лінійна функція:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Найпростіша дробово-лінійна функція — це $y=\frac{k}{x}$. Вона тобі, мабуть, знайома зі школи як обернена пропорційність із правила трьох. З Києва до Броварів приблизно 30 кілометрів. Якщо їхати зі швидкістю 30 км/год, будеш там за годину, при 60 км/год — за півгодини, а на велосипеді зі швидкістю 15 км/год доберешся за дві години. Швидкість удвічі більша — час удвічі менший. Отже, тривалість поїздки в годинах дорівнює

$$t=\frac{30}{v},$$

де v — швидкість у кілометрах на годину. І це якраз функція $y=\frac{k}{x}$ з k = 30.

Графіком дробово-лінійної функції є гіпербола, до того ж рівнобічна, тобто з асимптотами, перпендикулярними одна до одної. На відміну від рисунків у тій статті, тут вона повернута так, що наближається не до двох навхрест розташованих похилих прямих, а до горизонтальної та вертикальної. Так виглядає, наприклад, графік функції $y=\frac{x-1}{x-2}$, асимптоти — сині штрихові прямі x = 2 і y = 1:

До формули належать ще дві умови: c ≠ 0 і ad − bc ≠ 0. Якби було c = 0, у знаменнику не було б жодного x і ми отримали б звичайну лінійну функцію. А при ad − bc = 0 чисельник кратний знаменнику, дріб скорочується і залишається стала функція.

Функція k на x

Почнімо з функції $y=\frac{k}{x}$. Підставляти замість x нуль не можна, бо на нуль ділити не можна, тому область визначення — це D(f) = ℝ ∖ {0}. Але й нуля ми ніколи не отримаємо як результат: дріб із ненульовим чисельником нулем бути не може. Тому й область значень — E(f) = ℝ ∖ {0}.

Підставмо кілька чисел у функцію $y=\frac{2}{x}$. Для x = 1 отримуємо y = 2, для x = 2 маємо y = 1, а для x = 4 уже лише $y=\frac{1}{2}$. Що більше x, то ближче графік тулиться до осі Ox, але ніколи її не торкається. І навпаки, що ближче x до нуля, то більше y: для $x=\frac{1}{10}$ маємо y = 20. Отже, графік здіймається вгору вздовж осі Oy. Для від’ємних x усе так само, тільки з протилежним знаком.

Червона крива на рисунку належить функції $y=\frac{2}{x}$, синя — функції $y=-\frac{2}{x}$. Помаранчеві точки відповідають значенням, які ми щойно обчислили. Розташування віток визначає знак числа k:

• для k>0 вітки гіперболи лежать у I та III координатних чвертях,
• для k<0 — у II та IV координатних чвертях.

Осі Ox і Oy, до яких графік наближається, називаємо асимптотами.

Тепер обережно: тут є пастка, у яку потрапляє майже кожен. Функція $y=\frac{2}{x}$ — це ж спадна, так? Кожна червона вітка окремо справді спадає. Але спробуймо x₁ = −1 і x₂ = 1. Маємо x₁<x₂, а проте f(−1) = −2 менше за f(1) = 2. Отже, функція не є спадною на всій області визначення D(f), вона спадна окремо на проміжку (−∞; 0) і окремо на проміжку (0; +∞). Хто напише, що вона спадна на ℝ ∖ {0}, той помиляється.

Зсунутий графік і перетворення загального вигляду

Графік функції $y=\frac{k}{x}$ можна зсувати так само, як параболу в квадратичній функції. Функція

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

має той самий графік, що й $y=\frac{k}{x}$, тільки зсунутий на m праворуч і на n угору. Обережно зі знаком: у знаменнику стоїть x − m, тому $\frac{k}{x-3}$ зсувається на три праворуч, а не ліворуч. Разом із графіком зсуваються й асимптоти, тож це вже не осі, а прямі x = m і y = n. Вертикальна асимптота лежить там, де в знаменнику нуль. Коли x наближається до числа m, знаменник крихітний, а дріб величезний, тому графік рветься вгору або вниз. Горизонтальна асимптота лежить на тій висоті, до якої наближаються значення функції, коли x дуже далеко від нуля, і з додатного, і з від’ємного боку. Дріб $\frac{k}{x-m}$ тоді майже нульовий і залишається лише n.

Проте зазвичай ми маємо формулу в загальному вигляді $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, а не в такому. Покажемо перетворення на прикладі функції

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

У знаменнику стоїть x − 1, тож спробуємо дістати той самий вираз і в чисельнику. Подвоєне x − 1 — це 2x − 2, а щоб отримати чисельник 2x + 1, треба ще додати три:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Підставляємо в дріб:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Розкладаємо дріб на суму двох:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

У першому дробі скорочуємо x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

До того самого результату можна дійти й діленням многочленів: (2x + 1):(x − 1) дає 2 із остачею 3. З результату легко прочитати m = 1, n = 2 і k = 3. Асимптоти — прямі x = 1 і y = 2. Оскільки k додатне, вітки розташовані відносно асимптот праворуч угорі та ліворуч унизу, подібно до $y=\frac{2}{x}$.

Область визначення знаходимо за знаменником, який не може дорівнювати нулю, тобто x ≠ 1. Значення 2 функція, навпаки, не набуде, бо дріб $\frac{3}{x-1}$ нулем бути не може:

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\},E(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Лишилися точки перетину з осями. У точці перетину з віссю Ox маємо y = 0, а дріб дорівнює нулю лише тоді, коли нулю дорівнює чисельник:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Точку перетину з віссю Oy знайдемо, підставивши замість x нуль:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Графік перетинає вісь Ox у точці $(-\frac{1}{2};0)$, а вісь Oy — у точці (0; −1). Обидві точки перетину на рисунку помаранчеві, асимптоти — сірі пунктирні:

Зверни увагу, що точка перетину з віссю Oy вийшла й зі спрощеного вигляду: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Сходиться.