Gebrochen-lineare Funktion

Eine gebrochen-lineare Funktion ist eine Funktion, die im Zähler und im Nenner eine lineare Funktion hat:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Die allereinfachste gebrochen-lineare Funktion ist $y=\frac{k}{x}$. Vielleicht kennst du sie aus der Unterstufe als Antiproportionalität aus dem Dreisatz. Von Köln nach Bonn sind es ungefähr 30 Kilometer. Wenn du mit 30 km/h fährst, bist du in einer Stunde da, mit 60 km/h in einer halben Stunde und mit dem Fahrrad bei 15 km/h in zwei Stunden. Doppelte Geschwindigkeit, halbe Zeit. Die Fahrzeit in Stunden ist also

$$t=\frac{30}{v},$$

wobei v die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde ist. Und das ist genau die Funktion $y=\frac{k}{x}$ mit k = 30.

Der Graph einer gebrochen-linearen Funktion ist eine Hyperbel, und zwar eine gleichseitige, also mit zueinander senkrechten Asymptoten. Im Unterschied zu den Bildern im dortigen Artikel ist sie außerdem so gedreht, dass sie sich nicht zwei sich kreuzenden schrägen Geraden nähert, sondern einer waagrechten und einer senkrechten. So sieht zum Beispiel der Graph der Funktion $y=\frac{x-1}{x-2}$ aus, die Asymptoten sind die blauen gestrichelten Geraden x = 2 und y = 1:

Zur Funktionsvorschrift gehören noch zwei Bedingungen, c ≠ 0 und ad − bc ≠ 0. Wäre c = 0, stünde im Nenner kein x, und wir bekämen eine gewöhnliche lineare Funktion. Bei ad − bc = 0 ist dagegen der Zähler ein Vielfaches des Nenners, der Bruch lässt sich kürzen, und es bleibt eine konstante Funktion übrig.

Die Funktion k/x

Wir beginnen mit der Funktion $y=\frac{k}{x}$. Für x dürfen wir keine Null einsetzen, weil man nicht durch null teilen kann, und die Definitionsmenge ist deshalb D_f = ℝ ∖ {0}. Null erhalten wir aber auch nie als Ergebnis, ein Bruch mit einem Zähler ungleich null kann nicht null sein. Deshalb ist auch die Wertemenge W_f = ℝ ∖ {0}.

Setzen wir ein paar Zahlen in die Funktion $y=\frac{2}{x}$ ein. Für x = 1 erhalten wir y = 2, für x = 2 ergibt sich y = 1 und für x = 4 nur noch $y=\frac{1}{2}$. Je größer x ist, desto enger schmiegt sich der Graph an die x-Achse, ohne sie jemals zu berühren. Je näher x dagegen an null liegt, desto größer wird y: Für $x=\frac{1}{10}$ ergibt sich y = 20. Der Graph schießt also entlang der y-Achse nach oben. Bei negativen x ist es dasselbe, nur mit umgekehrtem Vorzeichen.

Die rote Kurve im Bild gehört zur Funktion $y=\frac{2}{x}$, die blaue zur Funktion $y=-\frac{2}{x}$. Die orangen Punkte entsprechen den Werten, die wir gerade berechnet haben. Über die Lage der Äste entscheidet das Vorzeichen von k:

• für k>0 liegen die Äste der Hyperbel im I. und III. Quadranten,
• für k<0 liegen sie im II. und IV. Quadranten.

Die x- und die y-Achse, denen sich der Graph nähert, nennen wir Asymptoten.

Jetzt aber Vorsicht vor einer Falle, in die fast jeder tappt. Die Funktion $y=\frac{2}{x}$ ist doch fallend, oder? Jeder rote Ast für sich fällt tatsächlich. Probieren wir aber x₁ = −1 und x₂ = 1. Es gilt x₁<x₂, und trotzdem ist f(−1) = −2 kleiner als f(1) = 2. Die Funktion ist also nicht streng monoton fallend auf der gesamten Definitionsmenge D_f, sondern streng monoton fallend jeweils für sich auf dem Intervall ]−∞; 0[ und auf dem Intervall ]0; +∞[. Wer schreibt, sie sei auf ℝ ∖ {0} streng monoton fallend, macht einen Fehler.

Verschobener Graph und Umformung der allgemeinen Form

Den Graphen der Funktion $y=\frac{k}{x}$ können wir genauso verschieben wie die Parabel bei der quadratischen Funktion. Die Funktion

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

hat denselben Graphen wie $y=\frac{k}{x}$, nur um m nach rechts und um n nach oben verschoben. Achte auf das Vorzeichen: Im Nenner steht x − m, deshalb wird $\frac{k}{x-3}$ um drei nach rechts verschoben, nicht nach links. Mit dem Graphen verschieben sich auch die Asymptoten, es sind also nicht mehr die Achsen, sondern die Geraden x = m und y = n. Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner null wird. Wenn sich x der Zahl m nähert, ist der Nenner winzig und der Bruch riesig, sodass der Graph nach oben oder unten davonschießt. Die waagrechte Asymptote liegt bei dem Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn x weit von null entfernt ist, sowohl auf der positiven als auch auf der negativen Seite. Der Bruch $\frac{k}{x-m}$ ist dann fast null, und es bleibt nur n übrig.

Die allgemeine Funktionsvorschrift $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ haben wir aber meist nicht in dieser Form. Wir zeigen die Umformung an der Funktion

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Im Nenner steht x − 1, also versuchen wir, denselben Term auch im Zähler zu erzeugen. Das Doppelte von x − 1 ist 2x − 2, und um daraus den Zähler 2x + 1 zu erhalten, müssen wir noch drei addieren:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Wir setzen in den Bruch ein:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Den Bruch teilen wir in die Summe zweier Brüche auf:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Im ersten Bruch kürzen wir x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Zum selben Ergebnis gelangst du auch mit der Polynomdivision: (2x + 1):(x − 1) ergibt 2 Rest 3. Aus dem Ergebnis können wir leicht m = 1, n = 2 und k = 3 ablesen. Die Asymptoten sind die Geraden x = 1 und y = 2. Da k positiv ist, liegen die Äste bezüglich der Asymptoten rechts oben und links unten, ähnlich wie bei $y=\frac{2}{x}$.

Die Definitionsmenge erkennen wir am Nenner, der nicht null sein darf, also x ≠ 1. Den Wert 2 nimmt die Funktion dagegen nie an, weil der Bruch $\frac{3}{x-1}$ nicht null sein kann:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},W_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Es fehlen noch die Schnittpunkte mit den Achsen. Im Schnittpunkt mit der x-Achse ist y = 0, und ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Den Schnittpunkt mit der y-Achse finden wir, indem wir für x null einsetzen:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt $(-\frac{1}{2}\mid 0)$ und die y-Achse im Punkt (0 ∣ −1). Beide Schnittpunkte sind im Bild orange eingezeichnet, die Asymptoten grau gestrichelt:

Beachte, dass sich der Schnittpunkt mit der y-Achse auch aus der umgeformten Form ergibt: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Das passt.