Ομογραφική συνάρτηση

Η ομογραφική συνάρτηση (λέγεται και γραμμική κλασματική) είναι μια συνάρτηση που έχει τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή γραμμική συνάρτηση:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Η πιο απλή ομογραφική συνάρτηση είναι η $y=\frac{k}{x}$. Ίσως την ξέρεις από το σχολείο ως αντιστρόφως ανάλογα ποσά από τη μέθοδο των τριών. Από το Ηράκλειο στη Χερσόνησο η απόσταση είναι περίπου 30 χιλιόμετρα. Αν πας με 30 km/h, θα φτάσεις σε μία ώρα, με 60 km/h σε μισή ώρα και με το ποδήλατο, με 15 km/h, σε δύο ώρες. Διπλάσια ταχύτητα, μισός χρόνος. Ο χρόνος της διαδρομής σε ώρες είναι λοιπόν

$$t=\frac{30}{v},$$

όπου v είναι η ταχύτητα σε χιλιόμετρα την ώρα. Και αυτή είναι ακριβώς η συνάρτηση $y=\frac{k}{x}$ με k = 30.

Η γραφική παράσταση της ομογραφικής συνάρτησης είναι υπερβολή, και μάλιστα ισόπλευρη, δηλαδή με ασύμπτωτες κάθετες μεταξύ τους. Σε σχέση με τα σχήματα του εκεί άρθρου είναι επιπλέον στραμμένη έτσι, ώστε να μην πλησιάζει δύο τεμνόμενες πλάγιες ευθείες, αλλά μία οριζόντια και μία κατακόρυφη. Έτσι φαίνεται, για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=\frac{x-1}{x-2}$· οι ασύμπτωτες είναι οι μπλε διακεκομμένες ευθείες x = 2 και y = 1:

Στον τύπο ανήκουν ακόμη δύο συνθήκες, c ≠ 0 και ad − bc ≠ 0. Αν ήταν c = 0, ο παρονομαστής δεν θα περιείχε κανένα x και θα προέκυπτε μια απλή γραμμική συνάρτηση. Αν πάλι ad − bc = 0, ο αριθμητής είναι πολλαπλάσιο του παρονομαστή, το κλάσμα απλοποιείται και μένει μια σταθερή συνάρτηση.

Η συνάρτηση k/x

Ξεκινάμε με τη συνάρτηση $y=\frac{k}{x}$. Στη θέση του x δεν επιτρέπεται να βάλουμε μηδέν, επειδή με το μηδέν δεν μπορούμε να διαιρέσουμε, και γι' αυτό το πεδίο ορισμού είναι D_f = ℝ ∖ {0}. Μηδέν όμως δεν παίρνουμε ποτέ ούτε ως αποτέλεσμα, γιατί ένα κλάσμα με μη μηδενικό αριθμητή δεν μπορεί να είναι μηδέν. Γι' αυτό και το σύνολο τιμών είναι f(A) = ℝ ∖ {0}.

Ας αντικαταστήσουμε μερικούς αριθμούς στη συνάρτηση $y=\frac{2}{x}$. Για x = 1 βγαίνει y = 2, για x = 2 παίρνουμε y = 1 και για x = 4 πια μόνο $y=\frac{1}{2}$. Όσο μεγαλύτερο είναι το x, τόσο πιο κοντά πλησιάζει η γραφική παράσταση τον άξονα x'x, χωρίς ποτέ να τον αγγίξει. Αντίθετα, όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι το x, τόσο μεγαλύτερο y παίρνουμε: για $x=\frac{1}{10}$ βγαίνει y = 20. Η γραφική παράσταση εκτοξεύεται λοιπόν προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα y'y. Για αρνητικά x ισχύει το ίδιο, μόνο με αντίθετο πρόσημο.

Η κόκκινη καμπύλη στο σχήμα ανήκει στη συνάρτηση $y=\frac{2}{x}$, η μπλε στη συνάρτηση $y=-\frac{2}{x}$. Τα πορτοκαλί σημεία αντιστοιχούν στις τιμές που μόλις υπολογίσαμε. Τη θέση των κλάδων την καθορίζει το πρόσημο του k:

• για k>0 οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο,
• για k<0 βρίσκονται στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο.

Τους άξονες x'x και y'y, στους οποίους πλησιάζει η γραφική παράσταση, τους λέμε ασύμπτωτες.

Τώρα όμως πρόσεξε μια παγίδα, στην οποία πέφτει σχεδόν ο καθένας. Η συνάρτηση $y=\frac{2}{x}$ είναι φθίνουσα, σωστά; Κάθε κόκκινος κλάδος χωριστά πράγματι φθίνει. Ας δοκιμάσουμε όμως x₁ = −1 και x₂ = 1. Ισχύει x₁<x₂ και παρ' όλα αυτά το f(−1) = −2 είναι μικρότερο από το f(1) = 2. Η συνάρτηση λοιπόν δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε ολόκληρο το D_f, είναι γνησίως φθίνουσα χωριστά στο διάστημα (−∞, 0) και χωριστά στο διάστημα (0, +∞). Όποιος γράψει ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ ∖ {0}, κάνει λάθος.

Μετατοπισμένη γραφική παράσταση και μετατροπή της γενικής μορφής

Τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=\frac{k}{x}$ μπορούμε να τη μετατοπίσουμε όπως την παραβολή στην τετραγωνική συνάρτηση. Η συνάρτηση

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

έχει την ίδια γραφική παράσταση με την $y=\frac{k}{x}$, μετατοπισμένη μόνο κατά m προς τα δεξιά και κατά n προς τα πάνω. Πρόσεξε το πρόσημο: στον παρονομαστή υπάρχει x − m, επομένως η $\frac{k}{x-3}$ μετατοπίζεται τρεις μονάδες προς τα δεξιά και όχι προς τα αριστερά. Μαζί με τη γραφική παράσταση μετατοπίζονται και οι ασύμπτωτες, άρα δεν είναι πια οι άξονες, αλλά οι ευθείες x = m και y = n. Η κατακόρυφη ασύμπτωτη βρίσκεται εκεί όπου ο παρονομαστής γίνεται μηδέν. Όταν το x πλησιάζει τον αριθμό m, ο παρονομαστής είναι πολύ μικρός και το κλάσμα τεράστιο, και έτσι η γραφική παράσταση ανεβαίνει ή κατεβαίνει απότομα. Η οριζόντια ασύμπτωτη βρίσκεται εκεί όπου πλησιάζουν οι τιμές της συνάρτησης, όταν το x είναι πολύ μακριά από το μηδέν, τόσο στη θετική όσο και στην αρνητική πλευρά. Το κλάσμα $\frac{k}{x-m}$ είναι τότε σχεδόν μηδέν και μένει μόνο το n.

Τον γενικό τύπο $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ όμως συνήθως δεν τον έχουμε σε αυτή τη μορφή. Θα δείξουμε τη μετατροπή στη συνάρτηση

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Στον παρονομαστή υπάρχει x − 1, γι' αυτό προσπαθούμε να φτιάξουμε την ίδια παράσταση και στον αριθμητή. Το διπλάσιο του x − 1 είναι 2x − 2, και για να πάρουμε από αυτό τον αριθμητή 2x + 1, πρέπει να προσθέσουμε ακόμη τρία:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Αντικαθιστούμε στο κλάσμα:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Χωρίζουμε το κλάσμα σε άθροισμα δύο κλασμάτων:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Στο πρώτο κλάσμα απλοποιούμε το x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνεις και με διαίρεση πολυωνύμων: η διαίρεση (2x + 1):(x − 1) δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 3. Από το αποτέλεσμα διαβάζουμε εύκολα m = 1, n = 2 και k = 3. Οι ασύμπτωτες είναι οι ευθείες x = 1 και y = 2. Επειδή το k είναι θετικό, οι κλάδοι βρίσκονται ως προς τις ασύμπτωτες πάνω δεξιά και κάτω αριστερά, όπως και στην $y=\frac{2}{x}$.

Το πεδίο ορισμού το βρίσκουμε από τον παρονομαστή, που δεν επιτρέπεται να είναι μηδέν, δηλαδή x ≠ 1. Την τιμή 2 αντίθετα η συνάρτηση δεν την παίρνει ποτέ, επειδή το κλάσμα $\frac{3}{x-1}$ δεν μπορεί να είναι μηδέν:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},f(A)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Μένουν τα σημεία τομής με τους άξονες. Στο σημείο τομής με τον άξονα x'x είναι y = 0 και ένα κλάσμα είναι μηδέν μόνο όταν μηδενίζεται ο αριθμητής:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Το σημείο τομής με τον άξονα y'y το βρίσκουμε αντικαθιστώντας το x με μηδέν:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο $(-\frac{1}{2},0)$ και τον άξονα y'y στο σημείο (0, −1). Και τα δύο σημεία τομής φαίνονται στο σχήμα με πορτοκαλί χρώμα, οι ασύμπτωτες με γκρίζα διακεκομμένη γραμμή:

Πρόσεξε ότι το σημείο τομής με τον άξονα y'y βγήκε και από την απλοποιημένη μορφή: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Ταιριάζει.