Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to funkcja, która ma w liczniku i w mianowniku funkcję liniową:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Najprostsza funkcja homograficzna to $y=\frac{k}{x}$. Być może znasz ją ze szkoły podstawowej jako proporcjonalność odwrotną z reguły trzech. Z Gdańska do Gdyni jest mniej więcej 30 kilometrów. Jeśli pojedziesz 30 km/h, będziesz tam za godzinę, przy 60 km/h za pół godziny, a na rowerze, jadąc 15 km/h, dotrzesz za dwie godziny. Dwa razy większa prędkość, dwa razy krótszy czas. Czas jazdy w godzinach wynosi więc

$$t=\frac{30}{v},$$

gdzie v jest prędkością w kilometrach na godzinę. A to właśnie funkcja $y=\frac{k}{x}$ dla k = 30.

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, i to równoosiowa, czyli o asymptotach prostopadłych do siebie. W odróżnieniu od rysunków w tamtym artykule jest tu obrócona tak, że nie zbliża się do skrzyżowanych ukośnych prostych, lecz do prostej poziomej i pionowej. Tak wygląda na przykład wykres funkcji $y=\frac{x-1}{x-2}$, asymptotami są niebieskie przerywane proste x = 2 i y = 1:

Do wzoru dochodzą jeszcze dwa warunki: c ≠ 0 i ad − bc ≠ 0. Gdyby było c = 0, w mianowniku nie byłoby żadnego x i dostalibyśmy zwykłą funkcję liniową. Przy ad − bc = 0 licznik jest z kolei wielokrotnością mianownika, ułamek się skraca i zostaje funkcja stała.

Funkcja k przez x

Zaczniemy od funkcji $y=\frac{k}{x}$. Za x nie wolno podstawić zera, bo przez zero dzielić nie można, więc dziedzina to D(f) = ℝ ∖ {0}. Zera nie dostaniemy też nigdy jako wyniku, bo ułamek z niezerowym licznikiem nie może być równy zeru. Dlatego zbiór wartości to również ZW(f) = ℝ ∖ {0}.

Spróbujmy podstawić kilka liczb do funkcji $y=\frac{2}{x}$. Dla x = 1 wychodzi y = 2, dla x = 2 dostajemy y = 1, a dla x = 4 już tylko $y=\frac{1}{2}$. Im większe x, tym bliżej osi Ox biegnie wykres, ale nigdy jej nie dotyka. I odwrotnie: im bliżej zera jest x, tym większe y dostajemy: dla $x=\frac{1}{10}$ wychodzi y = 20. Wykres wystrzeliwuje więc w górę wzdłuż osi Oy. Dla ujemnych x jest tak samo, tylko ze znakiem przeciwnym.

Czerwona krzywa na rysunku należy do funkcji $y=\frac{2}{x}$, niebieska do funkcji $y=-\frac{2}{x}$. Pomarańczowe punkty odpowiadają wartościom, które właśnie obliczyliśmy. O położeniu gałęzi decyduje znak liczby k:

• dla k>0 gałęzie hiperboli leżą w I i III ćwiartce,
• dla k<0 leżą w II i IV ćwiartce.

Osie Ox i Oy, do których wykres się zbliża, nazywamy asymptotami.

Teraz uwaga na pułapkę, w którą wpada prawie każdy. Funkcja $y=\frac{2}{x}$ jest przecież malejąca, prawda? Każda czerwona gałąź osobno rzeczywiście maleje. Spróbujmy jednak z x₁ = −1 i x₂ = 1. Mamy x₁<x₂, a mimo to f(−1) = −2 jest mniejsze niż f(1) = 2. Funkcja nie jest więc malejąca w całej dziedzinie D(f), tylko osobno w przedziale (−∞, 0) i osobno w przedziale (0, ∞). Kto napisze, że jest malejąca w zbiorze ℝ ∖ {0}, popełnia błąd.

Przesunięty wykres i przekształcanie postaci ogólnej

Wykres funkcji $y=\frac{k}{x}$ możemy przesuwać tak samo jak parabolę przy funkcji kwadratowej. Funkcja

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

ma ten sam wykres co $y=\frac{k}{x}$, tylko przesunięty o m w prawo i o n w górę. Uwaga na znak: w mianowniku jest x − m, więc $\frac{k}{x-3}$ przesuwa się o trzy w prawo, a nie w lewo. Razem z wykresem przesuwają się też asymptoty, więc nie są to już osie, lecz proste x = m i y = n. Asymptota pionowa leży tam, gdzie w mianowniku jest zero. Gdy x zbliża się do liczby m, mianownik jest malutki, a ułamek ogromny, więc wykres pnie się w górę albo opada w dół. Asymptota pozioma leży tam, dokąd zbliżają się wartości funkcji, gdy x jest bardzo daleko od zera, zarówno po stronie dodatniej, jak i ujemnej. Ułamek $\frac{k}{x-m}$ jest wtedy prawie zerowy i zostaje tylko n.

Zwykle jednak dostajemy wzór w postaci ogólnej $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, a nie w tej postaci. Pokażemy, jak przekształcić funkcję

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

W mianowniku jest x − 1, więc spróbujemy otrzymać to samo wyrażenie także w liczniku. Dwukrotność x − 1 to 2x − 2, a żeby dostać licznik 2x + 1, musimy dodać jeszcze trzy:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Podstawiamy do ułamka:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Ułamek rozdzielamy na sumę dwóch:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

W pierwszym ułamku skracamy x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Do tego samego wyniku dojdziesz również dzieleniem wielomianów: (2x + 1):(x − 1) daje 2 z resztą 3. Z wyniku łatwo odczytać m = 1, n = 2 i k = 3. Asymptotami są proste x = 1 i y = 2. Ponieważ k jest dodatnie, gałęzie leżą względem asymptot po prawej u góry i po lewej na dole, podobnie jak przy $y=\frac{2}{x}$.

Dziedzinę poznajemy po mianowniku, który nie może być zerem, czyli x ≠ 1. Wartości 2 funkcja natomiast nigdy nie przyjmie, bo ułamek $\frac{3}{x-1}$ nie może być równy zeru:

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\},ZW(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Zostały jeszcze punkty przecięcia z osiami. W punkcie przecięcia z osią Ox jest y = 0, a ułamek jest równy zeru tylko wtedy, gdy zerem jest licznik:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Punkt przecięcia z osią Oy znajdziemy, podstawiając za x zero:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Wykres przecina oś Ox w punkcie $(-\frac{1}{2},0)$, a oś Oy w punkcie (0, −1). Oba punkty przecięcia są na rysunku pomarańczowe, asymptoty szare przerywane:

Zauważ, że punkt przecięcia z osią Oy wyszedł też z postaci przekształconej: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Zgadza się.